AntiderivativeEdit

By the fundamental theorem of calculus, integral is the antiderivative.

If we take the function 2 x {displaystyle 2x}… 2xのような関数があるとする。

{displaystyle 2x}

を反微分すると、例えば、2 x {displaystyle 2x} の積分は、「2 x {displaystyle 2x}」と言うことができる。

{displaystyle 2x}

は x 2 {displaystyle x^{2}} である。

{Thinkdisplaystyle x^{2}}

. 積分ではなく、積分と言うのは、関数の反すうは一意ではないためです。 例えば、x 2 + 17 {displaystyle x^{2}+17} のようになります。

{displaystyle x^{2}+17}

also differentiates to 2 x {displaystyle 2x}.

{Thatdisplaystyle 2x}

。 このため、反回転をとるときは定数Cを加えなければならない。 これを不定積分といいます。 これは、関数f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15}

{displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15}

のように関数の微分を求めるときに定数が0となるためであり、この定数Cを足すと不定積分となります。 f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {displaystyle f'(x)=10x+9+0}, }

{displaystyle f'(x)=10x+9+0}

. 0に注意：微分だけでは求められないので、積分は ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} となります。

{displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Simple EquationsEdit

y = x 2 {displaystyle y=x^{2}}のような簡単な方程式。

{displaystyle y=x^{2}}

は、次の方法でxに関して積分することができます。 積分するには、x のべき乗に1を加え、この新しいべき乗の値で x を割ります。 したがって、正規方程式の積分は次の規則に従います。 ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C { {displaystyle \int _{}^{}x^{n}dx={thefrac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

{displaystyle \int _{},}^{},}x^{n}dx={frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

The d x {displaystyle dx} {dx}を表示する。

{displaystyle dx}

の最後の部分は、xに関して積分していること、つまり、xが変化するときに積分していることを示しています。 これは微分の逆と見ることができます。 ただし、積分するときに定数Cが加わります。 これを積分定数といいます。 これは、整数を微分するとゼロになるので、ゼロを積分すると(どんな積分の最後にもつけることができる)整数Cができるため、必要なのです。

2つ以上の項を持つ方程式は、それぞれの項を積分することで簡単に積分できます。

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 – 2 x + C {displaystyle \int _{Chesis,}^{3},}x^{2}+3x-2dx=int _{,}^{2}dx+int _{,}^{3xdx-int _{,}^{3},}2dx= {x^{3}}+{hrac {3x^{2}}}-2x+C} {frac {3x}}{2x}}のように、2x+2dxのようになります。

{displaystyle \int _{},}^{},}x^{2}+3x-2dx=int _{},}^{2}dx+int _{},}^{}3xdx-int _{},}^{}dx=int _{},}xx{}dx+int _{},}xx=int int int int int_{}}^{}Dx+int int int int_{},}x{}dx-int int_{}dx=int int int_{},}^{}dx-int int2dx={{frac {x^{3}}+{{frac {3x^{2}}-2x+C}}

Integration involving e and lnEdit

eと自然対数を使った積分のルールがあります。 最も重要なのは、e x {displaystyle e^{x}} です。

{displaystyle e^{x}}

は自分自身の積分（積分定数を加える）： ∫e x d x = e x + C {displaystyle \int _{}^{x}dx=e^{x}+C} です。

{displaystyle \int _{},}^{}e^{x}dx=e^{x}+C}

自然対数 ln は 1 / x {displaystyle 1/x} の方程式を統合するときに便利である。

{displaystyle 1/x}

. これらは、上の式（1の累乗を加えて、その累乗で割る）で積分できません。1の累乗を加えると0になり、0による除算はできないからです。 その代わり、1 / x の積分 {displaystyle 1/x} は、次のようになります。

{displaystyle 1/x}

は ln x {displaystyle \ln x}

{displaystyle \ln x}

: ∫1 x d x = ln x + C {}displaystyle \int _{̮, }^{̮, }{frac {1}{x}}dx=¥ln x+C} {}Dx + C=¥ln x + C

{displaystyle \int _{},}^{},}{frac {1}{x}}dx={ln x+C}

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