e

e

eの定義

数学で特に重要な役割を果たす指数関数には、特殊な基底があります。 eの定義の1つは複利の公式

A = P(1 + r/n)nt

ここでAは年利rを年n回払う銀行のt年後の口座残高に相当するものです。 例えば、n=4なら四半期複利、n=365なら日割複利となる。 複利計算の回数が多ければ多いほど、利息は早く増えていきます。

r = 1 P = 1 t = 1 x = 1/n

とすると、複利の公式は

f(x) = (1 + x)1/x

x は複利計算する1年間の分数と解釈することができる。 もしこの分数が0になるなら、次の表を作ることができる：

この関数はeと呼ぶ数に収束するようです。

継続的利息

継続的複利については式があるのです。

A = Pert

Inflation Example
健康産業のインフレ率が8％で、現在月200ドルを払っていると、45年後の健康保険料はいくらでしょうか？

解答
r =.08 P =200 and t = 45
すると

A = 200e(.08)(45) = $7319 per month!!!である。

人口増加モデル

人口増加の最も単純なモデルの1つは、増加率が現在の人口に比例するという仮定から生じるものである。 後ほど、この仮定のもとで人口Pat時間tは

P = C0 ekt

ここでC0は初期人口、kは比例定数で与えられることを明らかにする。

例題

1960年にヨーロッパから200本の植物がアメリカに持ち込まれ、造園に使用された。 成長定数を0.1として指数関数的に成長するとすると、2050年までにアメリカには何本の植物があることになるか。 するとC0=200となる。 指数関数的成長モデルから

P = 200 e0.1t

次に、2050年はt = 90に対応する。 つまり

P(90) = 200 e(0.1)(90) = 1,620,616

2050年までにこの外国工場は162万0616台となる。 グラフは以下の通り。

指数モデルには重大な欠点がある。 それは、人口が空間と栄養素に関係なく成長し続けることを前提としています。 より現実的なモデルは、環境収容力があるという事実、つまり、それを超えることができない人口があるという事実を考慮します。 このモデルはロジスティック系列と呼ばれ、

ここでa、b、kは正の定数である。

例

地球上の人間の人口（10億人単位）は、物流成長曲線

ここでtは1970以降の年であるによってモデル化できる。 2010年の人口はどうなっているか？

解決策

2010年の人口を求めるには、2010年はt=40に相当することがわかります。 このtを突っ込んで電卓で計算すると

2010年の地球上の人口は約88億人です。

環境収容力を求めるには、時間が無限に近づいたときの人口の限界を求めます。 式から、指数が負であるため、指数項は0になることがわかります。 従って環境収容力Lは

となる。