Integral

AntiderivativeEdit

Op grond van de fundamentele stelling van de calculus is de integraal de antiderivative.

Als we de functie 2 x {\displaystyle 2x}

, bijvoorbeeld, en antidifferentiëren deze, dan kunnen we zeggen dat een integraal van 2 x {\displaystyle 2x}

is x 2 {\displaystyle x^{2}}

. We zeggen een integraal, niet de integraal, omdat de antiderivatief van een functie niet uniek is. Bijvoorbeeld, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

differentieert ook naar 2 x {\displaystyle 2x}

. Daarom moet bij het nemen van de antiderivatief een constante C worden toegevoegd. Dit wordt een onbepaalde integraal genoemd. Dit komt omdat bij het vinden van de afgeleide van een functie de constanten gelijk zijn aan 0, zoals in de functie f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {Displaystyle f'(x)=10x+9+0,}

. Let op de 0: die kunnen we niet vinden als we alleen de afgeleide hebben, dus de integraal is ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Eenvoudige vergelijkingenEdit

Een eenvoudige vergelijking, zoals y = x 2 {{\displaystyle y=x^{2}}

, kan worden geïntegreerd ten opzichte van x met behulp van de volgende techniek. Om te integreren tel je 1 op bij de macht waartoe x is verheven, en vervolgens deel je x door de waarde van deze nieuwe macht. Daarom volgt de integratie van een normale vergelijking deze regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

De d x {{displaystyle dx}

aan het eind geeft aan dat we integreren ten opzichte van x, dat wil zeggen als x verandert. Dit is het omgekeerde van differentiëren. Er wordt echter een constante, C, toegevoegd wanneer men integreert. Dit wordt de integratieconstante genoemd. Deze is nodig omdat differentiëren van een geheel getal resulteert in nul, daarom levert integreren van nul (dat aan het eind van elke integrand kan worden gezet) een geheel getal op, C. De waarde van dit geheel getal zou worden gevonden door gebruik te maken van gegeven voorwaarden.

Vergelijkingen met meer dan één term worden eenvoudigweg geïntegreerd door elke term afzonderlijk te integreren:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=int _{\,}^{\,}x^{2}dx+int _{\,}^{\,}3xdx-int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}{2}}-2x+C}

Integreren met e en lnEdit

Er zijn bepaalde regels voor het integreren met e en de natuurlijke logaritme. De belangrijkste is dat e x {E^{x}}

is de integraal van zichzelf (met toevoeging van een integratieconstante): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

De natuurlijke logaritme, ln, is nuttig bij de integratie van vergelijkingen met 1 / x {\displaystyle 1/x}

. Deze kunnen niet geïntegreerd worden met de bovenstaande formule (1 tot de macht optellen, delen door de macht), want 1 tot de macht optellen geeft 0, en een deling door 0 is niet mogelijk. In plaats daarvan wordt de integraal van 1 / x {\displaystyle 1/x}

is ln x {\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}