Inhoud

Bernoulli proeven

In de module Discrete kansverdelingen wordt het idee besproken van een opeenvolging van onafhankelijke proeven, waarbij elke proef dezelfde kans op succes heeft. Deze structuur leidt tot een aantal willekeurige variabelen met verschillende verdelingen. In die module wordt de proefstructuur gebruikt om de meetkundige verdeling te introduceren. Vanwege het algemene belang van de beproevingsstructuur onderzoeken we die in deze module systematisch.

Het centrale idee is een Bernoulli beproeving – genoemd naar Jacob Bernoulli (1655-1705), die behoorde tot een familie van vooraanstaande wiskundigen. Een Bernoulli proef is een willekeurige procedure die een van de twee uitkomsten kan hebben, die willekeurig worden aangeduid met “succes” en “mislukking”.

Een Bernoulli proef heeft een corresponderende willekeurige Bernoulli variabele, die het aantal successen in een enkele proef telt. De enige mogelijke waarden van deze willekeurige variabele zijn nul en één; de willekeurige variabele heeft de waarde één als een succes optreedt, en de waarde nul als een mislukking optreedt.

Laat \(X) een willekeurige Bernoulli variabele zijn met parameter \(p\), waarbij \(0 < p < 1\). De kansfunctie (p_X(x)van \(X) wordt gegeven door Het gemiddelde van deze willekeurige variabele is begin{align*}}mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x p_X(x) = groot(0 maal (1-p) groot(1 maal p) groot(1) = p.\De variantie van X is gelijk aan p(1-p)\, een resultaat verkregen als volgt:\Begin{align*} {mathrm{var}(X) &= \sum (x-u_X)^2 p_X(x) \ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \ &= p(1-p).\einde{align*}

Bernoulli toevalsvariabelen ontstaan op een manier die zeer veel voorkomt. Stel dat we geïnteresseerd zijn in een populatie van “eenheden”, waarin de verhouding van eenheden met een bepaalde eigenschap p(1-p) is. Een “eenheid” kan hier een persoon, een dier, een plant, een school, een bedrijf of vele andere entiteiten zijn, afhankelijk van de bestudeerde populatie. We nemen een aselecte steekproef van eenheden uit de populatie, en kijken of elke eenheid al dan niet de eigenschap van belang heeft.

Als de populatie oneindig is, of zo groot dat we haar als feitelijk oneindig kunnen beschouwen, dan is steekproeftrekking zonder vervanging hetzelfde als steekproeftrekking met vervanging, en als elke eenheid onafhankelijk van alle anderen wordt bemonsterd, is de kans dat een enkele bemonsterde eenheid de eigenschap heeft gelijk aan \(p\).Als we “succes” definiëren als “het hebben van de eigenschap van belang”, dan kan elke waarneming worden beschouwd als een Bernoulli proef, onafhankelijk van de andere waarnemingen, met een kans op succes gelijk aan p. Het belang van dit inzicht is dat het zo breed toepasbaar is. Hier volgen enkele voorbeelden:

  • Er wordt een politieke peiling onder kiezers gehouden. Elke ondervraagde kiezer wordt gevraagd of hij op dit moment al dan niet de premier goedkeurt.
  • Er wordt een aselecte steekproef van scholen genomen. De scholen worden beoordeeld op hun naleving van een passend beleid inzake blootstelling van hun leerlingen aan de zon.
  • Een aselecte steekproef van politiepersoneel wordt ondervraagd. Bij elke persoon wordt nagegaan of hij al dan niet blijk geeft van een passend bewustzijn van verschillende culturen.
  • Bij een aselecte steekproef van chauffeurs wordt een drugstest afgenomen, waarbij wordt genoteerd of zij al dan niet positief zijn voor recent methamfetaminegebruik.
  • Bij een aselecte steekproef van voetballers wordt nagegaan of zij meer dan drie keer een hersenschudding hebben gehad.

Wanneer we deze voorbeelden bekijken, zien we dat we geïnteresseerd zijn in het aantal successen in het algemeen, en niet alleen in het onderzoek van individuele reacties. Als we een aantal proeven hebben, willen we weten hoeveel daarvan succesvol zijn.

Volgende pagina – Inhoud – Binomiale toevalsvariabelen

 Deze publicatie wordt gefinancierd door het
Australian Government Department of Education,
Werkgelegenheid en arbeidsverhoudingen		 Bijdragers
Termijn