AntiderivativeEdit

Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung ist das Integral die Antiderivative.

Wenn wir die Funktion 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

, zum Beispiel, nehmen und sie antidifferenzieren, können wir sagen, dass ein Integral von 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

ist x 2 {\displaystyle x^{2}}

{\displaystyle x^{2}}

. Wir sagen ein Integral, nicht das Integral, weil die Antiderivative einer Funktion nicht eindeutig ist. Zum Beispiel, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

{\displaystyle x^{2}+17}

auch differenziert zu 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. Aus diesem Grund muss bei der Bildung der Gegenableitung eine Konstante C hinzugefügt werden. Dies nennt man ein unbestimmtes Integral. Das liegt daran, dass bei der Bestimmung der Ableitung einer Funktion die Konstanten gleich 0 sind, wie bei der Funktion f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Beachte die 0: Wir können sie nicht finden, wenn wir nur die Ableitung haben, also ist das Integral ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Einfache GleichungenBearbeiten

Eine einfache Gleichung, wie y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}

{\displaystyle y=x^{2}}

, kann mit der folgenden Technik in Bezug auf x integriert werden. Um zu integrieren, addiert man 1 zu der Potenz, auf die x angehoben wird, und dividiert dann x durch den Wert dieser neuen Potenz. Daher folgt die Integration einer normalen Gleichung dieser Regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

Das d x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

am Ende zeigt, dass wir in Bezug auf x integrieren, d.h. wenn sich x ändert. Dies kann als Umkehrung der Differenzierung angesehen werden. Beim Integrieren wird jedoch eine Konstante, C, hinzugefügt. Diese wird als Integrationskonstante bezeichnet. Sie ist erforderlich, weil die Differenzierung einer ganzen Zahl zu Null führt, so dass die Integration der Null (die an das Ende eines jeden Integranden gesetzt werden kann) eine ganze Zahl, C, ergibt.

Gleichungen mit mehr als einem Term werden einfach integriert, indem man jeden einzelnen Term integriert:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integration mit e und lnEdit

Es gibt bestimmte Regeln für die Integration mit e und dem natürlichen Logarithmus. Am wichtigsten ist, dass e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}

ist das Integral von sich selbst (mit dem Zusatz einer Integrationskonstante): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Der natürliche Logarithmus, ln, ist nützlich beim Integrieren von Gleichungen mit 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

. Diese können nicht mit der obigen Formel (1 hochzählen, durch die Potenz dividieren) integriert werden, da die Addition von 1 hoch 0 ergibt und eine Division durch 0 nicht möglich ist. Stattdessen wird das Integral von 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

ist ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}

{\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}