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Bernoulli-Versuche

Das Modul Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen behandelt die Idee einer Folge von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) hat. Diese Struktur führt zu einer Reihe von Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Verteilungen. In diesem Modul wird die Struktur der Versuche verwendet, um die geometrische Verteilung einzuführen. Wegen der allgemeinen Bedeutung der Versuchsstruktur wird sie in diesem Modul systematisch untersucht.

Die zentrale Idee ist der Bernoulli-Versuch – benannt nach Jacob Bernoulli (1655-1705), der zu einer Familie prominenter Mathematiker gehörte. Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsverfahren, das eines von zwei Ergebnissen haben kann, die willkürlich als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet werden.

Ein Bernoulli-Versuch hat eine entsprechende Bernoulli-Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge in einem einzigen Versuch zählt. Die einzigen möglichen Werte dieser Zufallsvariablen sind Null und Eins; die Zufallsvariable nimmt den Wert Eins an, wenn ein Erfolg eintritt, und den Wert Null, wenn ein Misserfolg eintritt.

Lassen Sie \(X\) eine Bernoulli Zufallsvariable mit dem Parameter \(p\) sein, wobei \(0 < p < 1\). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(p_X(x)\) von \(X\) ist gegeben durch\Der Mittelwert dieser Zufallsvariablen ist\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\ &= \bigl(0 \times (1-p)\bigr) + \bigl(1 \times p\bigr)\\ &= p.\end{align*}Die Varianz von \(X\) ist gleich \(p(1-p)\), ein Ergebnis, das man wie folgt erhält:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\\ &= p(1-p).\end{align*}

Bernoulli-Zufallsvariablen treten in einer Weise auf, die in der Tat sehr häufig vorkommt. Nehmen wir an, wir interessieren uns für eine Population von „Einheiten“, in der der Anteil der Einheiten mit einem bestimmten Merkmal \(p\) ist. Dabei kann eine „Einheit“ eine Person, ein Tier, eine Pflanze, eine Schule, ein Unternehmen oder viele andere Einheiten sein, je nach der untersuchten Population. Wir nehmen eine Zufallsstichprobe von Einheiten aus der Grundgesamtheit und beobachten, ob jede Einheit das interessierende Merkmal aufweist oder nicht.

Ist die Grundgesamtheit unendlich oder so groß, dass wir sie als effektiv unendlich betrachten können, dann ist die Stichprobe ohne Ersetzung dasselbe wie die Stichprobe mit Ersetzung, und wenn jede Einheit unabhängig von allen anderen Stichproben genommen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede einzelne Stichprobeneinheit das Merkmal aufweist, gleich \(p\).Wenn wir „Erfolg“ als „das interessierende Merkmal haben“ definieren, dann kann jede Beobachtung als Bernoulli-Versuch betrachtet werden, unabhängig von den anderen Beobachtungen, mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit gleich \(p\).Die Bedeutung dieser Erkenntnis liegt darin, dass sie so breit anwendbar ist. Hier sind einige Beispiele:

  • Es wird eine politische Umfrage unter den Wählern durchgeführt. Jeder befragte Wähler wird gefragt, ob er den Premierminister derzeit gutheißt oder nicht.
  • Es wird eine Zufallsstichprobe von Schulen gezogen. Die Schulen werden dahingehend bewertet, ob sie eine angemessene Politik zur Sonnenexposition ihrer Schüler verfolgen.
  • Eine Zufallsstichprobe von Polizeibeamten wird befragt. Jede Person wird dahingehend bewertet, ob sie ein angemessenes Bewusstsein für verschiedene Kulturen zeigt.
  • Eine Zufallsstichprobe von Autofahrern wird einem Drogentest unterzogen, und es wird festgestellt, ob sie in letzter Zeit Methamphetamin konsumiert haben oder nicht.
  • Eine Zufallsstichprobe von Fußballspielern wird ausgewählt und ihre Verletzungsrate wird danach beurteilt, ob sie mehr als drei Gehirnerschütterungen erlitten haben.

Die Betrachtung dieser Beispiele legt nahe, dass wir an der Anzahl der Erfolge im Allgemeinen interessiert sind und nicht nur an der Untersuchung einzelner Reaktionen. Wenn wir \(n\) Versuche haben, wollen wir wissen, wie viele davon erfolgreich sind.

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 Diese Veröffentlichung wird durch das
Australische Bildungsministerium finanziert,
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