Vertikale Methoden

Matrix-Populationsmodelle

Wir gehen von einem zeitdiskreten Modell aus, bei dem die Zeitschritte einen Fütterungs-Ovipositions-Zyklus der Mücken darstellen, über den die Überlebenswahrscheinlichkeit (\(\phi\)) ist. In der Literatur wird dies mit der Wahrscheinlichkeit des täglichen Überlebens (\(p\)) in Beziehung gesetzt durch

$$p^{d} = \phi$$
(1)

wobei \(d\) die Dauer des Zyklus in Tagen ist.

Altersstrukturierte Matrix Wir beschreiben zunächst die Dynamik der adulten Mückenpopulation in Form einer allgemeinen altersstrukturierten Matrix:

$$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(2)

wobei \(f_{i}\) die Pro-Kopf-Fertilität und \(\phi_{i}\) die Überlebenswahrscheinlichkeit (pro Zyklus) einer Altersklasse i ist. Dies ist die korrekte Form für Stechmücken unter der gängigen Annahme, dass es keine Seneszenz gibt (altersunabhängiges Überleben).

Unter bestimmten Bedingungen, unter denen es eine älteste Altersklasse \(m\) gibt, die nicht überlebt (\(\phi_{m} = 0\); ‛Leslie-Matrix‘) oder wenn die älteste Altersklasse alle Tiere dieses Alters und älter mit der gleichen Überlebenswahrscheinlichkeit repräsentiert (siehe ; ‛Usher-Matrix‘), kann die unendliche Matrix in (Gl. 2) wie folgt als endlich behandelt werden:

In beiden Fällen gelten bestimmte Ergebnisse der Theorie der stabilen Population mit nur schwachen Annahmen, insbesondere dass die langfristige Populationsstruktur unabhängig von den Anfangsbedingungen erreicht wird (sie ist ‛ergodisch‘ ). Die Anzahl der Individuen in der Altersklasse i bei dieser stabilen Altersstruktur ist gegeben durch:

$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \prod\limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} }$$
(4)

wobei \(\lambda\) die Wachstumsrate der Bevölkerung ist.

Konventionelle Mückenmodelle nehmen üblicherweise gleiche (altersunabhängige) Überlebenswahrscheinlichkeiten (etwa \(\phi\)) der Altersklassen \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\) und altersunabhängige Fertilität \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\) an. Eine weitere gängige Annahme ist, dass die Altersklassen der Mücken von gleicher Dauer sind (höchstwahrscheinlich die Länge des Eiablage- oder Gonotrophiezyklus). Bei der stabilen Altersverteilung reduziert sich die Anzahl in der Altersklasse i auf :

$$x_{i} = x_{0} \left( {\frac{\phi }{\lambda }} \right)^{i}$$
(5)

Wenn also weiterhin die Population stationär ist (\(\lambda = 1)\), dann ist die Beziehung zwischen benachbarten Altersklassen gegeben durch:

$$\frac{{x_{i} }}{{x_{i – 1} }} = \phi$$
(6)

Viele Mückenstudien haben dieses Ergebnis zumindest implizit verwendet.

Stufenstrukturierte Matrix Eine alternative Formulierung ist ein stufenstrukturiertes Modell, bei dem die Individuen nach einem Lebensstadium oder einer Größe und nicht nach einem Alter klassifiziert werden. Im Gegensatz zu einem Leslie-Modell erlauben stadienklassifizierte Modelle „Selbstschleifen“, bei denen ein Zustand zu einem „Übergang“ führen kann. Physiologische Marker für das Alter, die in der Mückenliteratur verwendet werden können, werden von Silver beschrieben. Der am häufigsten verwendete Marker für das Stadium ist der Zustand der weiblichen Mücke bei der Eiablage, d. h. einfach (und am häufigsten), ob die Mücke zuvor Eier gelegt hat (parous) oder nicht (nulliparous). Für ein Nulliparous/Parous-Modell:

$$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(7)

Für eine Population im Gleichgewicht gilt \(\frac{{x_{p} }}{{x_{0} }} = \frac{\phi }{1 – \phi }\) (vgl. Gl. 6) oder

$$\phi = \frac{{x_{p} }}{{x_{0} + x_{p} }}$$
(8)

Ein stufenförmig strukturiertes Modell hat möglicherweise nicht die Eigenschaft ‛ergodisch“, d.h. sein langfristiger Zustand kann von den Anfangsbedingungen abhängen.

Krankheitszustandsmatrix Nach der Erstinfektion entwickelt sich der Malariaparasit über den Zeitraum der ‛extrinsischen Inkubationszeit“ (EIP), um den Mückenwirt mit Sporozoiten zu infizieren. Die Infektiosität der Mücke kann als grober Marker für das Alter angesehen werden oder explizit durch den Zustand der Krankheitsübertragung charakterisiert werden. Im letzteren Fall und um die Verbindung zu anderen oben genannten Ansätzen zu verdeutlichen, schreiben wir den Prozess in einer zeitdiskreten Matrixform (vgl. frühere Gleichungen. 2 und 7, wo die Mücken nach ihrem Alter oder ihrer Parität kategorisiert wurden):

$$$\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(9)

wobei \(S\),\(E\),\(I\) empfängliche, exponierte (infizierte, aber nicht infektiöse) und infektiöse Stechmücken bezeichnen; \(\omega\) ist die Wahrscheinlichkeit einer Infektion (anfällige Mücke geht in infiziert über); \(\gamma\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine infizierte Mücke in einen infektiösen Zustand übergeht; \(\xi\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mücke die EIP überlebt, wobei angenommen wird, dass sie für alle Klassen gleich ist, und \(n\) ist die EIP in Tagen.

Beachten Sie, dass \(\xi\) in Bezug auf das tägliche Überleben als \(p^{n}\) geschrieben werden kann.

Wir betonen, dass Gleichung 9 stark vereinfacht ist: Der Term der Infektionswahrscheinlichkeit \(\omega\) ist eine Funktion anderer Parameter, insbesondere der Anzahl infektiöser Wirte wie z. B. Menschen. Die Gleichung ist eindeutig Teil eines umfassenderen Krankheitssystems, das auch die Dynamik der Wirbeltierwirte einschließt. Eine viel umfassendere Form dieses zeitdiskreten Systems ist untersucht worden.

Wir können das System untersuchen, wenn es sich im Gleichgewicht befindet, also \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( {t + n} \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}^{ *}\), sagen wir. Wenn der Übergang von infiziert zu infektiös sicher ist (\(\gamma = 1\)), dann ergibt die dritte Zeile von Gleichung 9, dass \(\xi \left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right) = x_{I}^{ *}\) also:

$$\xi = \frac{{x_{I}^{ *} }}{{\left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}$$
(10)

Die rechte Seite kann äquivalent und in einer bekannteren Form als \(s/Y\) geschrieben werden. Hier ist \(s\) der Anteil der infektiösen (der Anteil der Mücken, die Sporozoiten in den Speicheldrüsen enthalten) und \(Y\) der Anteil der infizierten Mücken.

In der Literatur ist es weitaus üblicher, die zeitkontinuierliche Form der dynamischen Gleichungen zur Beschreibung des Krankheitssystems zu verwenden, als die zeitdiskrete Form. Unter Verwendung der erstgenannten Form geben verschiedene Autoren Ausdrücke für die Sporozoitenrate \(s\) an, die sich als :

$$\frac{acX}{g + acX}{ \exp }\left( { – gn} \right)$$

wobei \(a\) die Bissrate ist, \(g\) die kontinuierliche Sterblichkeitsrate, \(c\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht infizierter Moskito nach dem Stich eines infektiösen Menschen infiziert wird, und \(X\) ist der Anteil der infizierten Menschen. Der linke Term ist der Anteil der infizierten Mücken (\(Y\)) und der rechte Term ist die Wahrscheinlichkeit, die EIP zu überleben (\(\xi\)), so dass wiederum \(s = Y\xi\).

Schätzung

In diesem Abschnitt wird das Schätzverfahren für die obigen Populationsmodelle erläutert. Einige der Schätzverfahren (LRH, LRV, JS oder FF) werden im Folgenden abgekürzt.

Anteil der Parösen Eine Querschnittsstichprobe der Stadienstruktur mit einer Stabilitätsannahme ergibt eine Schätzung von \(\phi\) (Gl. 8). Eine andere Betrachtungsweise, die häufig verwendet wird, geht auf die Gleichung zurück. Angenommen, alle Altersklassen werden repräsentativ beprobt und die Überlebensrate ist konstant. Sei \(f\) die Anzahl der Zyklen, vor denen die Mücke mit der Eiablage beginnt, so dass die erwartete Anzahl der Nullipariden \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }\) und die erwartete Anzahl in den älteren, nun parösen Altersklassen \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\) ist. Dann ist der Anteil der Nullgeburten

$$$\frac{{x_{n} }}{{x_{n} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{x_{n} }}{{x_{n} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}} = \left( {1 – \phi } \right)$$
(11)

Auf diese Weise ist der Anteil der Parous eine Schätzung der Überlebensrate über einen Zyklus.

Es ist auch möglich, einen Zeitreihenansatz zu verwenden. Unter der Annahme des Vorhandenseins von Stichprobenfehlern in Zeitreihen von Schätzungen der Parous \(X_{p} \left( 1 \right),X_{p} \left( 2 \right), \ldots\) und nulliparen Stechmücken \(X_{0} \left( 1 \right),X_{0} \left( 2 \right), \ldots\), dann \(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) durch kleinste Quadrate für eine Schätzung von \(\phi\) gelöst werden.

Regressionsansatz (LRV) Ausgehend von der Beziehung \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\), wenn die Population stationär ist (siehe Gleichung. 5) und die Logarithmen der erwarteten Werte, \({ \log }\left( {E\left} \right) \approx E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\). Bei normalverteilten Fehlern \({ \log }\left( {x_{i} } \right) \approx { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right) + \varepsilon\), die durch Regression gelöst werden können, und der geschätzte Koeffizient kann für eine Schätzung von \(\phi\) zurücktransformiert werden. Die Methode wird beispielsweise von

Parasitologische Schätzung Wir interpretieren ein kurzes Argument zur Schätzung von \(\xi\) (und damit \(p\)) wie folgt um. Eine Stichprobe von wild gefangenen Stechmücken mit dem Wert \(t\) wird auf den Anteil infektiöser Mücken untersucht, um die ‛unmittelbare Sporozoitenrate“ zu ermitteln. Eine weitere Probe aus derselben Population wird für die Dauer der EIP (\(n\)) am Leben gehalten und ebenfalls auf den Anteil der infektiösen Sporozoiten untersucht, jetzt bei \(t + n\) (die ‛verzögerte Sporozoitenrate“). Wir gehen davon aus, dass es keine Verluste gibt, da die Stechmücken nach \(t\) vor natürlichen Sterblichkeitsquellen geschützt sind, und dass es keine Seneszenz gibt. Wir nehmen ferner an, dass alle infizierten (aber noch nicht infektiösen) Mücken bis zur Stichprobe \(t + n\) infektiös werden. Die zum Zeitpunkt \(t + n\) infektiösen Mücken setzen sich zusammen aus den zum Zeitpunkt \(t\) infektiösen Mücken und den zum Zeitpunkt \(t\) infizierten Mücken, die im Laufe der EIP infektiös werden: \(x_{I} \left( {t + n} \right) = x_{I} \left( t \right) + x_{E} \left( t \right)\). Eine Schätzung der Anzahl der infizierten, aber nicht infektiösen Personen zum Zeitpunkt \(t \) ist also \(\hat{x}_{E} \left( t \right) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \left( t \right)\). Das Verhältnis von infektiös: überhaupt infiziert ist dann

$$\frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{x_{I} \left( t \right) + \hat{x}_{E} \left( t \right)}} = \frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{x_{I} \left( {t + n} \right)}}$$
(12)

Dieses Verhältnis kann mit dem Überleben in Beziehung gesetzt werden: Wie oben gezeigt (Gleichung 10), ist das Verhältnis (\(s/Y\)) die Wahrscheinlichkeit, die EIP (\(\xi\)) zu überleben, aus der sich \(p\) oder \(\phi\) ableiten lässt. Saul et al. und ihre Nachfolger haben diesen Ansatz modifiziert, um die Überlebensrate über einen Fütterungszyklus unter „natürlichen“ Bedingungen zu schätzen, wobei sie Parameter verwenden, die leichter zu schätzen sind, insbesondere die Anteile der Infizierten in einem beißenden Fang und der Infizierten in einem ruhenden (gefütterten) Fang.

Macdonald stellte eine Reihe heuristischer Schätzungen vor, die aus den Infektionsdaten anderer Autoren abgeleitet wurden, im Wesentlichen durch die Lösung eines Analogons von Gleichung 10.

Horizontale Methoden

Mark-Recapture

Kohorten von auf irgendeine Weise markierten Mücken werden über einen längeren Zeitraum verfolgt, und die Zeiten der Erholung und möglicherweise der Wiederfreigabe werden analysiert. Die markierte Population unterliegt der Kontrolle des Versuchsleiters, einschließlich des Zeitpunkts des Eintritts neu markierter Mücken. Die Mücken können beim Fang getötet oder wieder freigelassen werden, mit oder ohne neue Markierungen. Zur Schätzung der Überlebensparameter wird ein Modell für das Überleben der freigelassenen Mücken im Laufe der Zeit und ihre Wiederfangwahrscheinlichkeit verwendet. Im Gegensatz zu vertikalen Methoden wird nicht davon ausgegangen, dass die Population ein Gleichgewicht oder eine stabile Altersstruktur erreicht hat.

Die meisten Mark-Recapture (MR)-Mückenstudien sind Experimente mit einer einzigen Freilassung. Eine Stichprobe markierter Mücken wird freigelassen, und die Anzahl der zu einem späteren Zeitpunkt wieder gefangenen Mücken wird aufgezeichnet. Eine Minderheit der MR-Experimente sind Mehrfachfreisetzungen. Bei einer Wiederfangaktion werden weitere Mücken freigelassen. Dabei kann es sich um zuvor markierte oder neu markierte Stechmücken handeln.

Schätzung

Einfache Freisetzung Sei \(m_{0}\) die Anzahl der zum Zeitpunkt 0 markierten Stechmücken und \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots\) die Anzahl der zu späteren Zeitpunkten wieder eingefangenen. Lassen Sie \(\pi\) die (konstante) Wahrscheinlichkeit der Wiedererfassung bei jeder Gelegenheit sein. Die erwartete Anzahl der zum Zeitpunkt k wieder eingefangenen Personen ist (siehe, aber mit einer anderen Schreibweise):

$$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$
(13)

Der bei weitem gebräuchlichste Ansatz zur Schätzung von \(\phi\) besteht darin, Gln. 13 als Regressionsgleichung auszudrücken, aus der \(\phi\) geschätzt werden kann :

$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \approx log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$
(14)

mit einer Einheit, die zu \(m_{k}\) hinzugefügt wird, um die Berechenbarkeit zu gewährleisten, falls Nullzählungen auftreten. Eine Regression ohne den mittleren Term kann verwendet werden (siehe z.B. ), was zufriedenstellend sein kann, wenn Mücken wieder freigelassen werden oder wenn \(m_{k}) klein ist.

Mehrfache Freisetzung Es gibt eine Reihe von Methoden, die, obwohl sie oft auf Schätzungen der Abundanz abzielen, auch das Überleben schätzen können. Diese sind relativ komplex, und wir verweisen die Leser für ausführliche Details an anderer Stelle, z.B. . Wir gehen kurz auf die drei Methoden ein, auf die wir gestoßen sind:

(i) Die Fisher-Ford (FF)-Methode dient in erster Linie der Schätzung der Populationsgröße. Sie enthält jedoch eine damit verbundene Schätzung des Überlebens, die von einigen wenigen Autoren verwendet wurde. Die Methode geht von einem zeitunabhängigen Überleben aus und verwendet die durchschnittliche beobachtete Überlebenszeit der markierten Individuen, die bis zum Wiederfang überleben, und die erwartete durchschnittliche Überlebenszeit für die freigelassenen Individuen, die sich aus \(\phi\) ergibt. Für den einfacheren Fall, dass zu einem einzigen Wiederfangzeitpunkt \(k\) insgesamt \(m_{k}\) zuvor markierte Stechmücken gefangen werden (siehe auch die Erweiterung auf mehrfache Wiederfänge) und \(r_{j}\) die Anzahl dieser j Tage zuvor freigelassenen Stechmücken bezeichnet, ist die beobachtete durchschnittliche Überlebenszeit:

$$$\frac{{\sum\nolimits_{j} {r_{j} j} }}{{m_{k} }}$$

Denkt man mit \(a_{j}\) die Anzahl der neu freigesetzten \(j\) Tage vor dem Probenahmezeitpunkt \(k\), so ist die erwartete durchschnittliche Überlebenszeit (der freigesetzten Stechmücken, die bis zum Zeitpunkt \(k\) überleben):

$$frac{{\sum\nolimits_{j} {a_{j} \phi^{j} j} }}{{\sum\nolimits_{j} {a_{j} \phi^{j} } }}$$

Eine Schätzung von \(\phi\) wird angepasst, die die beobachtete und die erwartete durchschnittliche Überlebenszeit ausgleicht.

(ii) Die Jolly-Seber-Methode (JS) verwendet mehrfache Freisetzungen und Wiederfänge zur Schätzung des (zeitabhängigen) Überlebens (und anderer Parameter, insbesondere der Abundanz) und wird von Ökologen häufig verwendet. Im Wesentlichen besteht die Methode darin, das Überleben anhand von Schätzungen der markierten Populationsgrößen \(M_{t}\) und \(M_{t + 1}\) zu benachbarten Zeitpunkten zu schätzen, d. h. \(\hat{\phi } = \frac{{M_{t + 1} }}{{M_{t} }}). Schätzungen von \(M_{t}\) erhält man, indem man annimmt, dass die künftige Wiederfangrate von bereits markierten Tieren, die zum Zeitpunkt \(t\) nicht gefangen wurden, gleich der künftigen Wiederfangrate der zum Zeitpunkt \(t\) freigelassenen markierten Tiere ist. Im Rahmen des Basismodells kann die Überlebensrate mit der Zeit variieren, es kann jedoch modifiziert werden, um Einschränkungen zuzulassen (z. B. zeitunabhängiges Überleben), wodurch sich die Genauigkeit der Schätzungen verbessern lässt. In Mückenstudien wird die JS-Methode in der Regel vollständig angewandt, obwohl das Modell eine Komponente (das „Cormack-Jolly-Seber“-Modell) enthält, die für die Schätzung der Überlebensrate ausreicht.

(iii) Saul entwickelte seine eigenen Schätzungen, die algebraische Lösungen für MR-Gleichungen beinhalten. Die Methode setzt ein zeitunabhängiges Überleben voraus.

Andere Schätzmethoden

Andere Methoden waren unüblich und wir erwähnen sie nur. Dazu gehörten die Rate des Bevölkerungsrückgangs unter den Bedingungen der Nullrekrutierung, die ‛Manly-Parr‘-Methode“, angewandt von (obwohl für diese Methode keine Überlebensschätzung angegeben wurde), und informelle Ansätze (z. B. grafische Anpassung einer Überlebenskurve).

Suche und Meta-Analyse

Um Überlebensschätzungen zu erfassen, entwickelten die Autoren eine systematische Suchstrategie und führten sie in den folgenden Datenbanken durch: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) und Scopus. Die Recherchen wurden im November 2017 ohne Datums- oder Sprachbeschränkung durchgeführt. Das Scoping deutete darauf hin, dass Web of Science die relevantesten Ergebnisse liefern würde, so dass eine breitere Strategie als die anderen verwendet wurde. Suchstrategie im Web of Science: (Moskito* oder Anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or „life cycle*“)TS. Environment Complete, Global Health, Scopus und PubMED Suchstrategie: (Moskito* oder Anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or „life cycle*)TI.

Ausgeschlossen wurden dann unveröffentlichte oder nicht englischsprachige Studien, Interventionen, die das Überleben beeinflussen könnten, z. B. Insektizide; Studien ohne natürliche Mortalitätsquellen (Laborstudien), mit Ausnahme von Studien, die die ‛immediate: delayed sporozoite rate“ (siehe oben) verwenden, bei der nur angenommen wird, dass es zu zukünftigen Zeitpunkten, die über den Zeitpunkt der Schätzung hinausgehen, keine Mortalität gibt; Studien, die Daten mit einem altersabhängigen Modell reanalysieren; Methodik-/Simulationsstudien; Übersichtsarbeiten oder andere doppelte Schätzungen; und Studien, die keine Schätzungen liefern. Wenn nur ein paröser Anteil angegeben wurde, behandelten wir diesen als Schätzung der Wahrscheinlichkeit des Überlebens des Zyklus.

Wir planten, Meta-Analysen mit Studien durchzuführen, die durch inverse Varianzgewichtung gewichtet wurden. Die meisten vertikalen Studien und Markierungswiederfänge mit einmaliger Freisetzung lieferten jedoch keine Varianzschätzungen oder damit verbundene Metriken (Konfidenzintervalle usw.). Daher haben wir ungewichtete Meta-Analysen durchgeführt. Die täglichen Überlebensraten wurden vor der Meta-Analyse in log(odds) umgewandelt und dann für die Darstellung zurücktransformiert. Die Analyse wurde in R 3.5 mit dem Paket metafor durchgeführt.