e

e

Definition von e

Es gibt eine spezielle Basis eines Exponentials, die in der Mathematik eine besonders wichtige Rolle spielt. Eine Möglichkeit, e zu definieren, ist die Zinseszinsformel

A = P(1 + r/n)nt

wobei A dem Betrag entspricht, der sich nach t Jahren auf dem Konto einer Bank befindet, die einen jährlichen Zinssatz r hat, der n-mal pro Jahr aufgezinst wird. Ist beispielsweise n = 4, so wird das Konto vierteljährlich verzinst, ist n = 365, so wird das Konto täglich verzinst. Je öfter das Konto aufgezinst wird, desto schneller wachsen die Zinsen.

Wenn wir

r = 1 P =1 t = 1 und x = 1/n

lassen, dann ergibt die Zinseszinsformel

f(x) = (1 + x)1/x

Wir können xals den Bruchteil eines Jahres interpretieren, in dem die Zinsen aufgezinst werden. Wenn dieser Bruchteil gleich 0 ist, können wir die folgende Tabelle aufstellen:

Diese Funktion scheint gegen eine Zahl zu konvergieren, die wir e nennen.

Kontinuierlicher Zins

Für kontinuierlich aufgezinste Zinsen haben wir die Formel:

A = Pert

Inflation Beispiel
Wie viel wird die Krankenversicherung bei einer Inflationsrate von 8 % in 45 Jahren kosten, wenn ich heute 200 $ pro Monat zahle?

Lösung
Wir haben
r =.08 P =200 und t = 45
So dass

A = 200e(.08)(45) = $7319 pro Monat!

Modelle des Bevölkerungswachstums

Eines der einfachsten Modelle des Bevölkerungswachstums geht von der Annahme aus, dass die Wachstumsrate proportional zur aktuellen Bevölkerung ist. Später werden wir zeigen, dass unter dieser Annahme die Bevölkerung zum Zeitpunkt t durch

P = C0 ekt

gegeben ist, wobei C0 die Anfangspopulation und k eine Proportionalitätskonstante ist.

Beispiel

Im Jahr 1960 wurden zweihundert Pflanzen aus Europa zur Landschaftsgestaltung in die USA gebracht. Unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums mit einer Wachstumskonstante von 0,1, wie viele Pflanzen wird es im Jahr 2050 in den USA geben?

Lösung

Wir lassen t = 0 dem Jahr1960 entsprechen. Dann ist C0 = 200. Das Modell des exponentiellen Wachstums ergibt

P = 200 e0,1t

Das Jahr 2050 entspricht dann t = 90. Also

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

Im Jahr2050 wird es 1.620.616 dieser ausländischen Anlagen geben. Das Diagramm ist unten dargestellt.

Das Exponentialmodell hat einen schwerwiegenden Fehler. Es geht davon aus, dass die Bevölkerung ohne Rücksicht auf Raum und Nährstoffe weiter wächst. Ein realistischeres Modell berücksichtigt die Tatsache, dass es eine Tragfähigkeit gibt, d. h. eine Bevölkerungszahl, die nicht überschritten werden kann. Dieses Modell wird als logistische Sequenz bezeichnet und ist gegeben durch

wobei a, b und k positive Konstanten sind.

Beispiel

Die menschliche Bevölkerung (in Milliarden von Menschen) auf der Erde kann durch die logistische Wachstumskurve

modelliert werden, wobei t das Jahr seit 1970 ist. Wie hoch wird die Bevölkerung im Jahr2010 sein? Wie hoch ist die menschliche Tragfähigkeit der Erde?

Lösung

Um die Bevölkerung im Jahr 2010 zu bestimmen, sehen wir, dass 2010 t = 40 entspricht. Wir setzen dieses t ein und benutzen einen Taschenrechner, um zu erhalten

Im Jahr2010 wird es ungefähr 8,8 Milliarden Menschen auf der Erde geben.

Um die Tragfähigkeit zu bestimmen, finden wir den Grenzwert der Bevölkerung, wenn sich die Zeit dem Unendlichen nähert. Aus der Gleichung geht hervor, dass der Exponentialterm gegen 0 geht, da der Exponent negativ ist. Daher ist die Tragfähigkeit L