Verticale methoden

Matrix population models

Wij gaan uit van een discreet-tijd model waarin de tijdstappen een voedings-ovipositiecyclus van de muggen representeren waarover de overlevingskans (\(p\)) is. In de literatuur wordt dit gerelateerd aan de overlevingskans per dag (\(pji)) door

$$p^{d} = \phi$$
(1)

waarbij \(dji) de duur van de cyclus in dagen is.

Leeftijdsgestructureerde matrix We beschrijven eerst de dynamiek van de volwassen muggenpopulatie in de vorm van een algemene leeftijdsgestructureerde matrix: Dit is de juiste vorm voor muggen onder de gangbare aanname van geen senescentie (leeftijdsonafhankelijke overleving).

Onder bepaalde omstandigheden waarin er een oudste leeftijdsklasse i is die niet overleeft (i = 0); ‛Leslie matrix’) of wanneer de oudste leeftijdsklasse alle dieren van deze leeftijd en ouder met dezelfde overlevingskans vertegenwoordigt (zie ; ‛Usher matrix’) kan de oneindige matrix in (Eqn. 2) kan als volgt als eindig worden behandeld:

In beide gevallen gelden bepaalde resultaten van de stabiele populatietheorie met slechts zwakke veronderstellingen , met name dat de langetermijnbevolkingsstructuur wordt bereikt ongeacht de beginvoorwaarden (deze is ‛ergodisch’ ). Het aantal individuen in leeftijdsklasse i bij deze stabiele leeftijdsstructuur wordt gegeven door:

$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} $$
(4)

waarbij (\lambda) het groeipercentage van de bevolking is.

Conventionele muggenmodellen veronderstellen gewoonlijk gelijke (leeftijdsonafhankelijke) overlevingskansen (bijvoorbeeld \phi) van de leeftijdsklassen \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi}), en leeftijdsonafhankelijke vruchtbaarheid \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\). Een andere veel voorkomende aanname is dat de muggenleeftijdsklassen dezelfde duur hebben (waarschijnlijk de ovipositie- of gonotrofe cycluslengte). Bij de stabiele leeftijdsverdeling vermindert het aantal in leeftijdsklasse i tot :

$$x_{i} = x_{0} \links( {{\frac{\phi }{\lambda }} rechts)^{i}$$
(5)

Als de populatie bovendien stationair is (\lambda = 1) dan is het verband tussen aangrenzende leeftijdsklassen gegeven door:

$$\frac{x_{i} }}{x_{i – 1}
(6)

Vele muggenstudies hebben dit resultaat, althans impliciet, gebruikt.

Stadia-gestructureerde matrix Een alternatieve formulering is een stadia-gestructureerd model , waarbij individuen worden ingedeeld volgens levensfase of grootte, in plaats van volgens leeftijd. In tegenstelling tot een Leslie-model laten fase-geclassificeerde modellen ‛self-loops’ toe waarbij een toestand ‛overgang’ tot zichzelf kan leiden. Fysiologische markers van leeftijd die in de muggenliteratuur gebruikt kunnen worden, worden beschreven door Silver . De meest gebruikte marker van het stadium is de eierleggende conditie van de vrouwelijke mug, het eenvoudigst (en het meest voorkomend) of de mug al eerder eieren heeft gelegd (parous) of geen eieren heeft gelegd (nulliparous). Voor een nulliparous/parous model: \phi }) (cf. }}{x_{0} + x_{p} }}$$

(8)

Een gefaseerd gestructureerd model heeft misschien niet de ‛ergodische’ eigenschap, d.w.z. dat zijn toestand op lange termijn kan afhangen van de beginvoorwaarden.

Disease state matrix Na de initiële infectie ontwikkelt de malariaparasiet zich gedurende de ‛extrinsieke incubatieperiode’ (EIP) om de muggengastheer te infecteren met sporozoieten. De besmettelijkheid van de mug kan gezien worden als een ruwe leeftijdsindicator, of expliciet gekarakteriseerd worden door zijn ziektedragende toestand. Voor het laatste, en om het verband met andere benaderingen aan te tonen, schrijven we het proces in een discrete-tijd matrixvorm (vergelijk met eerdere Eqns. 2 en 7 waar de muggen werden gecategoriseerd naar leeftijd of pariteit):

$$\left( {t + n} \right) = \left( t \right)$$
(9)

waarin \(S),\(E),\(I) vatbare, blootgestelde (besmet maar niet besmettelijk) en besmettelijke muggen aanduiden; \is de kans op infectie (een gevoelige mug gaat over in een besmette mug); is de kans dat een besmette mug overgaat in een besmettelijke toestand; is de kans dat een mug de EIP overleeft, die voor alle klassen gelijk wordt verondersteld, en is de EIP in dagen.

Merk op dat \(n) kan worden geschreven in termen van dagelijkse overleving als \(p^{n})).

We benadrukken dat Eqn. 9 sterk vereenvoudigd is: de infectiekans term \(n) is een functie van andere parameters waaronder in het bijzonder het aantal besmettelijke gastheren zoals mensen. De vergelijking maakt duidelijk deel uit van een breder ziektesysteem waarin ook de dynamiek van gewervelde gastheren een rol speelt. Een veel vollediger vorm van dit discrete-tijd systeem is bestudeerd.

We kunnen het systeem onderzoeken wanneer het in de veronderstelling is dat het in evenwicht is, zodat \underset{\raise0.3em}hbox{$\smash{{scriptscriptstyle-}$}}{x} \links( {t + n} rechts) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{$\scriptscriptstyle-}$}{x} \links( t rechts) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{$\scriptscriptstyle-}$}}{x}^{ *}}, zeg maar. Als de overgang van besmet naar besmettelijk zeker is (\gamma = 1) dan volgt uit de derde rij van Eqn. 9 dat \xi links( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *}} rechts) = x_{I}^{ *}) dus:

$$\xi = \frac{x_{I}^{ *}} }}{{left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *}} rechts)}}$
(10)

Het rechterlid kan gelijkwaardig en in een meer bekende vorm geschreven worden als \(s/Y\). Hier is \(s) de proportie besmettelijk (de proportie muggen met sporozoieten in de speekselklieren) en \(Y) de proportie besmette muggen.

Het is in de literatuur veel gebruikelijker om de continue-tijd vorm van dynamische vergelijkingen te gebruiken om het ziektesysteem te beschrijven, dan de discrete-tijd vorm. Met behulp van de eerstgenoemde vorm geven verschillende auteurs uitdrukkingen voor de sporozoïtensnelheid die luidt als :

$${acX}{g + acX}{ \exp }{ { – gn} \rechts)$$

waarbij \(a\) de bijt snelheid is, \(g\) de continue sterfte snelheid, \de kans dat een niet-geïnfecteerde mug besmet raakt na een beet van een besmette mens en de proportie besmette mensen. De linker term is de proportie geïnfecteerde muggen (\(Y\)) en de rechter term is de overlevingskans van de EIP (\(\xi\)), zodat ook hier \(s = Y\xi\).

Raming

Dit hoofdstuk gaat dieper in op het schattingsproces voor de bovenstaande populatiemodellen. Wij zullen sommige schattingsmethoden (LRH, LRV, JS of FF) afkorten, zoals hieronder nader wordt toegelicht.

Verhouding parous Een transversale steekproef van de stadia-structuur met een aanname van stabiliteit geeft een schatting van \(\phi\) (Eqn. 8). Een andere manier om dit te bekijken die vaak wordt gebruikt kan teruggaan tot . Veronderstel dat alle leeftijdsklassen representatief worden bemonsterd en de overleving constant is. Stel dat \(f) het aantal cycli is voordat de mug eieren begint te leggen, zodat het verwachte aantal nulliparen \(x_{n} = \sumnolimits_{0}^{f} {x_{i} } }) is en de verwachte aantallen in oudere, nu parieuze, leeftijdsklassen zijn \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots}). Dan is het aandeel nulliparae

$$ }}{x_{n} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{x_{n} }}{x_{n} \links( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } }} = links( {1 – \phi } \right)$$
(11)

Op deze manier is het aandeel parous een schatting van de overlevingskans gedurende een cyclus.

Het is ook mogelijk om een tijdreeksbenadering te gebruiken. Uitgaande van de aanwezigheid van steekproeffouten in tijdreeksen van schattingen van parous (X_{p} \links( 1 rechts),X_{p} \links( 2), \ldots) en nulliparous muggen (X_{0} \links( 1 rechts),X_{0} \links( 2 \rechts), \ldots), dan zal X_{p} \links( {t + 1} rechts) = \phi \left + \varepsilon) met behulp van kleinste kwadraten worden opgelost voor een schatting van \(\phi).

Regressiebenadering (LRV) Uitgaande van de relatie \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\) als de populatie stationair is (zie Eqn. 5) en nemen we logaritmen van de verwachte waarden. Met normaal verdeelde fouten kunnen \(\log }left( {x_{i} } \right) \approx {\log }left( {x_{0} } \right) + i.{\log }left( \phi \right) + \varepsilon \) door regressie worden opgelost, en de geschatte coëfficiënt kan teruggetransformeerd worden voor een schatting van \(\phi). De methode wordt bijvoorbeeld beschreven in .

Parasitologische schatting We herinterpreteren een beknopt argument om \(\xi\) (en dus \(p\)) als volgt te schatten. Een monster van in het wild gevangen muggen op \(t) wordt beoordeeld op het percentage besmettelijk, om de ‛immediate sporozoite rate’ te krijgen. Een ander monster van dezelfde populatie wordt in leven gehouden voor de duur van de EIP (‛n’), en ook beoordeeld op het percentage besmettelijk, nu op ‛(t + n’) (de ‛vertraagde sporozoiet rate’). We nemen aan dat er geen verliezen zijn, omdat de muggen na \(t) beschermd zijn tegen natuurlijke sterfte, en dat er geen senescentie optreedt. We nemen verder aan dat alle geïnfecteerde (maar nog niet infectieuze) muggen infectieus worden bij het monster van \(t + n). De muggen die besmettelijk zijn op \(t + n) bestaan uit de muggen die besmettelijk zijn op \(t), plus alle muggen die besmet zijn op \(t) en besmettelijk worden over de EIP : \(x_{I} \links( {t + n} rechts) = x_{I} \links( t rechts) + x_{E} \links( t rechts). Dus een schatting van het aantal geïnfecteerden maar niet besmettelijk op t \ is \hat{x}_{E} \links( t rechts) = x_{I} \links( {t + n} rechts) – x_{I} \links( t rechts). De verhouding besmettelijk: überhaupt besmet is dan

$$ \links( t rechts)}}{x_{I} \links( t rechts) + \hat{x}_{E} \links( t rechts)}} = \frac{x_{I} \links( t rechts)}}{x_{I} \links( {t + n} rechts)}}$$
(12)

Deze verhouding kan in verband worden gebracht met de overleving: zoals hierboven (Eqn. 10) is de verhouding (\(s/Y\)) de overlevingskans van de EIP (\(\xi\)), waaruit \(p\) of \(\phi\) kan worden gevonden. Saul et al. en navolgers hebben deze aanpak gewijzigd om de overleving gedurende een voedingscyclus onder ‛natuurlijke’ omstandigheden te schatten, met gebruikmaking van parameters die gemakkelijker te schatten zijn, in het bijzonder de percentages besmette bijvangsten en besmette bijvangsten in rust (gevoed).

Macdonald presenteerde een aantal heuristische schattingen afgeleid van infectiegegevens van andere auteurs, hoofdzakelijk door het oplossen van een analogie van Eqn. 10.

Horizontale methoden

Mark-recapture

Hoge groepen muggen die op de een of andere manier gemerkt zijn, worden in de loop van de tijd gevolgd en de tijdstippen van herstel, en misschien opnieuw uitzetten, worden geanalyseerd. De gemerkte populatie staat onder controle van de onderzoeker, inclusief de tijdstippen van binnenkomst van nieuw gemerkte muggen. De muggen kunnen worden gedood bij de vangst, of opnieuw worden uitgezet, met of zonder nieuwe merktekens. Een model voor de overleving van losgelaten muggen in de tijd en de kans dat ze weer gevangen worden wordt gebruikt om de overlevingsparameters te schatten. In tegenstelling tot verticale methoden wordt niet verondersteld dat de populatie een evenwicht of een stabiele leeftijdsstructuur heeft bereikt.

De meeste mark-recapture (MR) muggenstudies zijn experimenten met een enkele vrijlating. Een steekproef van gemerkte muggen wordt losgelaten en het aantal teruggevangen muggen op latere tijdstippen wordt genoteerd. Een minderheid van de MR experimenten zijn multiple-release experimenten. Bij een volgende vangst worden meer muggen losgelaten. Dit kunnen eerder gemerkte of nieuw gemerkte muggen zijn.

Schatting

Single release Zij \(m_{0}) het aantal op tijdstip 0 gemerkte muggen en \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots) de aantallen van de op latere tijdstippen teruggevangen muggen. Zij de (constante) kans dat iemand bij elke gelegenheid wordt teruggevangen. Het verwachte aantal teruggevangenen op tijdstip k is (zie maar met een andere notatie):

$$Eleft( {m_{k} } \right) = m_{0} \{0} \(1 – \pi )^{k – 1}$$
(13)

Veelal de meest gebruikte benadering voor het schatten van \(\phi}) is het uitdrukken van Eqn. 13 uit te drukken als een regressievergelijking, waaruit \(\phi}) kan worden geschat :

$$Eleft( {log( {m_{k} + 1} \right)} \right) \benadrukt log( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$
(14)

met een eenheid toegevoegd aan \(m_{k}}) om de berekenbaarheid te garanderen als er nultellingen optreden . Een regressie zonder de middelste term kan worden gebruikt (zie b.v. ), wat bevredigend kan zijn als muggen opnieuw worden uitgezet, of als (m_{k}) klein is.

Meervoudige uitzettingen Er bestaan een aantal methoden die, hoewel vaak gericht op schattingen van de abundantie, ook de overleving kunnen schatten. Deze zijn betrekkelijk ingewikkeld en wij verwijzen de lezer voor alle details naar elders, b.v. . Wij behandelen kort de drie die wij tegenkwamen:

(i) De Fisher-Ford (FF) methode heeft als voornaamste functie de populatiegrootte te schatten. Niettemin bevat zij een bijbehorende schatting van de overleving, die door enkele auteurs is gebruikt. De methode gaat uit van tijdsonafhankelijke overleving en maakt gebruik van de gemiddelde waargenomen overlevingstijd van gemerkte individuen die overleven totdat zij opnieuw gevangen worden, en de verwachte gemiddelde overlevingstijd voor de vrijgelaten individuen, gegeven (\) . Voor het eenvoudige geval van een enkele vangsttijd waarbij in totaal \(m_{k}} gemerkte muggen worden gevangen (zie voor verdere uitbreiding tot meervoudige vangsten), en waarbij \(r_{j}) het aantal muggen is dat j dagen daarvoor is vrijgelaten, is de waargenomen gemiddelde overlevingstijd:

$$\frac{{[som}nolimits_{j} {r_{j} j}}}{m_{k}} }}{m_{k}}

Als we met \(a_{j}}) het aantal dagen vóór de bemonsteringstijd \(k}} nieuw uitgezette muggen aanduiden, dan is de verwachte gemiddelde overlevingstijd (van de uitgezette muggen die tot de tijd \(k}} overleven):

$\frac{{\sumnolimits_{j} {a_{j}} \^{j} j} }}{{sum_nolimits_{j} {a_{j} \^{j} }

Er wordt een schatting van de gemiddelde overlevingstijd gemaakt die de waargenomen en de verwachte gemiddelde overlevingstijd met elkaar in overeenstemming brengt.

(ii) De Jolly-Seber (JS)-methode maakt gebruik van meervoudige vrijlatingen en terugvangsten om de (tijdsafhankelijke) overleving (en andere parameters, met name abundantie) te schatten en wordt algemeen gebruikt door ecologen. De essentie van de methode is om de overleving te schatten op basis van schattingen van de gemarkeerde populatiegroottes \(M_{t}} en \(M_{t + 1}}) op aangrenzende tijdstippen, d.w.z. \(\hat{\phi } = \frac{M_{t + 1} }}{M_{t}}}). Schattingen van (M_{t}} worden verkregen door aan te nemen dat het toekomstige terugvangstpercentage van reeds gemerkte dieren die op het tijdstip \(t) nog niet zijn gevangen, gelijk is aan het toekomstige terugvangstpercentage van de gemerkte dieren die op het tijdstip \(t) zijn vrijgelaten. In het basismodel kan de overlevingskans variëren met de tijd, maar het kan worden aangepast om beperkingen toe te staan (b.v. tijdsafhankelijke overleving) en dit kan de nauwkeurigheid van de schattingen verbeteren. In muggenstudies wordt de JS-methode meestal volledig toegepast, hoewel het model een component bevat (het “Cormack-Jolly-Seber”-model) die volstaat om de overleving te schatten.

(iii) Saul heeft zijn eigen schattingen ontwikkeld die algebraïsche oplossingen voor MR-vergelijkingen inhouden. De methode veronderstelt tijdonafhankelijke survival.

Andere schattingsmethoden

Andere methoden waren ongebruikelijk en we doen niet meer dan ze vermelden. Deze omvatten de snelheid van de afname van de bevolking onder omstandigheden van nul rekrutering ; de ‛Manly-Parr’ methode , toegepast door (hoewel geen overlevingsschatting werd gegeven voor deze methode); en informele benaderingen (bijvoorbeeld het aanpassen van een overlevingscurve grafisch ).

Onderzoek en meta-analyse

Om schattingen van de overleving vast te leggen ontwikkelden de auteurs een systematische zoekstrategie en voerden deze uit in de volgende databases: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) en Scopus. De zoekopdrachten werden uitgevoerd in november 2017 zonder datum- of taalbeperkingen. Scoping gaf aan dat Web of Science de meest relevante resultaten zou opleveren, dus een bredere strategie gebruikt dan de anderen. Web of Science zoekstrategie: (Mosquito* of anophel*)TI EN (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* of “life cycle*”)TS. Milieu Compleet, Global Health, Scopus en PubMED zoekstrategie: (Mosquito* or anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or “life cycle*)TI.

Exclusies werden vervolgens gemaakt van ongepubliceerde of niet-Engelstalige studies, interventies die de overleving zouden kunnen beïnvloeden, bijv. insecticide; studies zonder natuurlijke sterftebronnen (laboratoriumstudies), met uitzondering van studies die gebruik maken van de ‛immediate: delayed sporozoite rate’ (zie hierboven), die alleen veronderstelt dat er geen sterfte is op toekomstige tijdstippen, voorbij het tijdstip van de schatting; studies die gegevens heranalyseerden met een leeftijdsafhankelijk model; methodologische/simulatiestudies; overzichtsdocumenten of andere dubbele schattingen; en studies die geen schattingen gaven. Wanneer alleen een parous aandeel werd verstrekt, behandelden wij dat als een schatting van de waarschijnlijkheid van cyclusoverleving.

Wij waren van plan om meta-analyses uit te voeren met studies gewogen door inverse-variantie weging. De meeste verticale studies en single-release mark-recapture leverden echter geen variantieschattingen of gerelateerde metrieken (betrouwbaarheidsintervallen etc). Daarom hebben wij ongewogen meta-analyses uitgevoerd. De dagelijkse overlevingskansen werden vóór de meta-analyse getransformeerd naar log(odds) en vervolgens teruggetransformeerd voor de presentatie. De analyse werd uitgevoerd in R 3.5 met het pakket metafor.