Metode verticale

Modeluri matriciale de populație

Supunem un model în timp discret în care pașii de timp reprezintă un ciclu de hrănire-ovipoziție a țânțarului pe parcursul căruia probabilitatea de supraviețuire este (\(\phi\)). În literatura de specialitate, aceasta este legată de probabilitatea de supraviețuire zilnică (\(p\)) prin

$$p^{d} = \phi$$$
(1)

unde \(d\) este durata ciclului în zile.

Matrice structurată pe vârste Descriem mai întâi dinamica populației adulte de țânțari sub formă de matrice generală structurată pe vârste:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(2)

unde \(f_{i}\) este fertilitatea pe cap de locuitor și \(\phi_{i}\) este probabilitatea de supraviețuire (pe ciclu) a unei clase de vârstă i. Aceasta este forma corectă pentru țânțari, în ipoteza obișnuită că nu există senescență (supraviețuire independentă de vârstă).

În anumite condiții în care există o clasă de vârstă cea mai înaintată \(m\) care nu supraviețuiește (\(\phi_{m} = 0\); ‛Matrice de Leslie’) sau atunci când clasa de vârstă cea mai înaintată reprezintă toate animalele de această vârstă și mai mari cu aceeași probabilitate de supraviețuire (a se vedea ; ‛Matrice de Ușher’), matricea infinită din (Eqn. 2) poate fi tratată ca fiind finită, după cum urmează:

În ambele cazuri, anumite rezultate ale teoriei populațiilor stabile se aplică doar cu ipoteze slabe , mai ales că structura populației pe termen lung este atinsă indiferent de condițiile inițiale (este ‛ergodică’ ). Numărul de indivizi din clasa de vârstă i la această structură stabilă de vârstă este dat de:

$$x_{i} = x_{0}} \lambda^{ – i} \prod\limitele_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} }$$
(4)

unde \(\lambda\) este rata de creștere a populației.

Modelurile convenționale de țânțari presupun în mod obișnuit probabilități de supraviețuire egale (independente de vârstă) (\(\phi\\), să zicem) ale claselor de vârstă \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\) și o fertilitate \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\) independentă de vârstă. O altă ipoteză comună este aceea că clasele de vârstă ale țânțarilor au aceeași durată (cel mai probabil durata ciclului de ovipoziție sau a ciclului gonotrofic). La distribuția stabilă a vârstelor, numărul din clasa de vârstă i se reduce la :

$$x_{i} = x_{0} \left( {\frac{\phi }{\lambda }} \right)^{i}$$
(5)

Dacă, în plus, populația este staționară (\(\lambda = 1)\), atunci relația dintre clasele de vârstă adiacente este dată de:

$$\frac{{{x_{i} }}}{{{x_{i – 1} }} = \phi$$$
(6)

Multe studii asupra țânțarilor au folosit acest rezultat, cel puțin implicit.

Matrice structurată pe etape O formulare alternativă este un model structurat pe etape , în care indivizii sunt clasificați în funcție de o etapă de viață sau de mărime, mai degrabă decât de o vârstă. Spre deosebire de un model Leslie, modelele clasificate pe stadii permit ‛bucle de sine’ în care o stare de ‛tranziție’ poate duce la ea însăși. Markerii fiziologici ai vârstei care pot fi utilizați în literatura despre țânțari sunt descriși de Silver . Cel mai frecvent marker de stadiu care a fost utilizat este starea de depunere a ouălor de către țânțarul femelă, cel mai simplu (și cel mai frecvent) dacă țânțarul a depus sau nu ouă anterior (este parous) sau nu a depus ouă (este nulliparous). Pentru un model nulipare/paros:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$
(7)

Pentru o populație în echilibru avem \(\frac{{x_{p} }}{{{x_{0} }} = \frac{\phi }{1 – \phi }\) (cf. Ecuația 6) sau

$$\phi = \frac{{x_{p} }}}{{{x_{0} + x_{p} }}}$$
(8)

Un model structurat pe etape poate să nu aibă proprietatea ‛ergodică’, adică starea sa pe termen lung poate depinde de condițiile inițiale.

Matricea stării de boală După infecția inițială, parazitul malariei se dezvoltă pe parcursul perioadei de ‛perioadă de incubație extrinsecă’ (EIP) pentru a determina gazda țânțar să se infecteze cu sporozoiți. Infecțiozitatea țânțarului poate fi privită ca un marker rudimentar al vârstei sau caracterizată în mod explicit prin starea sa de purtător de boală. Pentru aceasta din urmă și pentru a demonstra legătura cu alte abordări de mai sus, scriem procesul într-o formă matricială în timp discret (a se compara cu ecuațiile anterioare). 2 și 7, unde țânțarii au fost clasificați în funcție de vârstă sau de paritate):

$$\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$
(9)

unde \(S\),\(E\),\(I\) desemnează țânțarii susceptibili, expuși (infectați, dar neinfectați) și infectați; \(\(\omega\) este probabilitatea de infectare (țânțarul susceptibil trece la infectat); \(\gamma\) este probabilitatea ca un țânțar infectat să treacă la o stare infecțioasă; \(\xi\) este probabilitatea ca un țânțar să supraviețuiască EIP, presupusă a fi aceeași pentru toate clasele, și \(n\) este EIP în zile.

Rețineți că \(\xi\) poate fi scris în termeni de supraviețuire zilnică ca \(p^{n}\).

Sublinificăm că ecuația 9 este foarte simplificată: probabilitatea termenului de infectare \(\omega\) este o funcție de alți parametri, inclusiv, în special, de numărul de gazde infecțioase, cum ar fi oamenii. Ecuația este în mod clar parte a unui sistem de boală mai larg care include și dinamica gazdelor vertebrate. O formă mult mai completă a acestui sistem în timp discret a fost studiată.

Potem examina sistemul atunci când, prin ipoteză, se află în echilibru, astfel încât \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptcriptstyle-}}$}}{x} \left( {t + n} \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}}$}}{x} \left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}}$}}{x}^{ *}\), să zicem. Dacă tranziția de la infectat la infecțios este sigură (\(\(\gamma = 1\)), atunci al treilea rând din ecuația 9 rezultă că \(\xi \left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right) = x_{I}^{ *}\) astfel:

$$\xi = \frac{{{x_{I}^{ *}} }}}{{{\left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}}$$
(10)

Latura dreaptă poate fi scrisă în mod echivalent și într-o formă mai familiară ca \(s/Y\). Aici, \(s\) este proporția de infecțioși (proporția de țânțari care conțin sporozoiți în glandele salivare) și \(Y\) este proporția de țânțari infectați.

Este mult mai frecventă în literatura de specialitate utilizarea formei în timp continuu a ecuațiilor dinamice pentru a descrie sistemul de stare a bolii, mai degrabă decât forma în timp discret. Folosind prima formă, diverși autori oferă expresii pentru rata sporozoitului \(s\) care se scrie ca :

$$\frac{acX}{g + acX}{ \exp }\left( { – gn} \right)$$

unde \(a\) este rata de mușcătură, \(g\) este rata continuă de mortalitate, \(c\) este probabilitatea ca un țânțar neinfectat să se infecteze după ce a mușcat un om infectat și \(X\) este proporția de oameni infectați. Termenul din stânga este proporția de țânțari infectați (\(Y\)) și termenul din dreapta este probabilitatea de supraviețuire la EIP (\(\xi\)), astfel încât, din nou, \(s = Y\xi\).

Stimare

Această secțiune detaliază procesul de estimare pentru modelele de populație de mai sus. Vom prescurta unele dintre metodele de estimare (LRH, LRV, JS sau FF), așa cum se explică mai jos.

Proporția de parale Un eșantion transversal al structurii etapelor cu o ipoteză de stabilitate oferă o estimare a \(\phi\) (Eqn. 8). Un alt mod de a privi acest lucru, care este adesea utilizat, poate reveni la . Să presupunem că toate clasele de vârstă sunt eșantionate reprezentativ și că supraviețuirea este constantă. Fie \(f\) numărul de cicluri înainte de care țânțarul începe să depună ouă, astfel încât numărul așteptat de nulipare să fie \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }\), iar numărul așteptat în clasele de vârstă mai mari, care acum sunt pari, să fie \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\). Atunci proporția nuliparelor este

$$\frac{{{x_{n} }}}{{{x_{n} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{x_{n} }}{{{x_{n} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}} = \left( {1 – \phi } \right)$$
(11)

În acest fel, proporția de perechi este o estimare a ratei de supraviețuire pe parcursul unui ciclu.

Este de asemenea posibil să se utilizeze o abordare prin serii de timp . Presupunând prezența erorii de eșantionare în seriile temporale de estimări ale numărului de perechi \(X_{p} \left( 1 \right),X_{p} \left( 2 \right), \ldots\) și a țânțarilor nulipare \(X_{0} \left( 1 \right),X_{0} \left( 2 \ dreapta), \ldots\), atunci \(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) poate fi rezolvată prin metoda celor mai mici pătrate pentru o estimare a \(\phi\).

Abordare prin regresie (LRV) Pornind de la relația \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\) când populația este staționară (vezi Eqn. 5) și luând logaritmii valorilor așteptate, \({ \log }\left( {E\left} \right) \aprox E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\). Cu erori distribuite normal \({ \log }\left( {x_{i} } \right) \approx { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right) + \varepsilon\) care poate fi rezolvată prin regresie, iar coeficientul estimat poate fi transformat în sens invers pentru o estimare a \(\phi\). Metoda este prezentată, de exemplu, de .

Stimare parazitologică Reinterpretăm un argument concis pentru a estima \(\xi\) (și, prin urmare, \(p\)) după cum urmează. Un eșantion de țânțari capturați în sălbăticie la \(t\) este evaluat pentru proporția infecțioasă, pentru a obține ‛taxa sporozoitului imediat’. Un alt eșantion din aceeași populație este menținut în viață pe durata EIP (\(n\)) și este, de asemenea, evaluat pentru proporția infecțioasă, acum la \(t + n\) (rata sporozoitului întârziat’). Presupunem că nu există pierderi, deoarece țânțarii sunt protejați de surse naturale de mortalitate după \(t\) și, prin ipoteză, nu există senescență. Presupunem, de asemenea, că toți țânțarii infectați (dar încă neinfecțioși) trec la infecțioși până la proba \(t + n\). Țânțarii infecțioși la \(t + n\) sunt compuși din cei infecțioși la \(t\), plus cei infectați la \(t\) și care devin infecțioși pe parcursul EIP: \(x_{I} \left( {t + n} \right) = x_{I} \left( t \right) + x_{E} \left( t \right)\). Așadar, o estimare a numărului de persoane infectate dar neinfectate la \(t\) este \(\hat{x}_{E} \left( t \right) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \left( t \right)\). Raportul dintre infecțioși: infectați deloc este atunci

$$\frac{{x_{I} \left( t \right)}}}{{x_{I}{x_{I} \left( t \right) + \hat{x}_{E} \left( t \right)}} = \frac{{{x_{I} \left( t \right)}}{{x_{I} \left( {t + n} \right)}}$$
(12)

Acest raport poate fi legat de supraviețuire: așa cum s-a arătat mai sus (Ecuația 10), raportul (\(s/Y\)) este probabilitatea de supraviețuire la EIP (\(\xi\)), din care se poate afla \(p\) sau \(\phi\). Saul et al. și cei care i-au urmat au modificat această abordare pentru a estima supraviețuirea pe parcursul unui ciclu de hrănire în condiții ‛naturale’, folosind parametri mai ușor de estimat, în special proporțiile infectate într-o captură care mușcă și într-o captură în repaus (hrănită).

Macdonald a prezentat o serie de estimări euristice presupuse din datele de infecție ale altor autori, în esență prin rezolvarea unui analog al ecuației 10.

Metode orizontale

Mark-recapture

Cohortele de țânțari marcați într-un anumit fel sunt urmărite în timp și se analizează timpii de recuperare și, eventual, de reîmprăștiere. Populația marcată se află sub controlul investigatorului, inclusiv momentele de intrare a țânțarilor nou marcați. Țânțarii pot fi uciși în momentul capturării sau eliberați din nou, cu sau fără mărci noi. Pentru estimarea parametrilor de supraviețuire se utilizează un model de supraviețuire a țânțarilor eliberați în timp și a probabilităților de recapturare a acestora. Spre deosebire de metodele verticale, nu se fac presupuneri că populația a atins echilibrul sau o structură de vârstă stabilă.

Majoritatea studiilor de marcare-recapturare (MR) a țânțarilor sunt experimente de eliberare unică. Se eliberează un eșantion de mărimea \(m_{0}\) de țânțari marcați și se înregistrează numărul de țânțari recapturați la momente ulterioare. O minoritate de experimente MR sunt de eliberare multiplă. La o ocazie de recapturare, se eliberează mai mulți țânțari. Aceștia pot fi țânțari marcați anterior sau nou marcați.

Estimare

Liberare unică Fie \(m_{0}\) numărul de țânțari marcați la momentul 0 și \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots\) numărul celor recapturați la momente ulterioare. Fie \(\pi\) probabilitatea (constantă) de recapturare în orice moment. Numărul așteptat de recapturați la momentul k este (vezi dar cu o notație diferită):

$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$
(13)

De departe cea mai comună abordare pentru estimarea \(\phi\) este de a exprima Ecuația. 13 ca o ecuație de regresie din care se poate estima \(\phi\) :

$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \approx log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$
(14)

cu o unitate adăugată la \(m_{k}\) pentru a asigura calculabilitatea în cazul în care apar numere zero . Se poate utiliza o regresie fără termenul din mijloc (a se vedea, de exemplu, ), care ar putea fi satisfăcătoare în cazul în care țânțarii sunt eliberați din nou sau dacă \(\pi\) este mic.

Liberare multiplă Există o serie de metode care, deși vizează adesea estimări ale abundenței, pot estima, de asemenea, supraviețuirea. Acestea sunt relativ complexe și trimitem cititorii în altă parte pentru detalii complete, de exemplu: . Le abordăm pe scurt pe cele trei pe care le-am întâlnit:

(i) Funcția principală a metodei Fisher-Ford (FF) este de a estima mărimea populației. Cu toate acestea, ea conține o estimare asociată a supraviețuirii care a fost utilizată de câțiva autori. Metoda presupune o supraviețuire independentă de timp și utilizează timpul mediu de supraviețuire observat al indivizilor marcați care supraviețuiesc până la recapturare și timpul mediu de supraviețuire preconizat pentru cei eliberați, având în vedere \(\phi\) . Pentru cazul mai simplu al unui singur timp de recapturare \(k\) care capturează în total \(m_{k}\) țânțari marcați anterior (a se vedea pentru o extindere ulterioară la recapturi multiple), și cu \(r_{j}\) care denotă numărul acestor țânțari eliberați cu j zile înainte, timpul mediu de supraviețuire observat este:

$\frac{{{\sum\nolimits_{j} {r_{j} j} }}}{{{m_{k} }}$$$

Denotând prin \(a_{j}\) numărul de țânțari nou eliberați \(j\) cu câteva zile înainte de momentul de eșantionare \(k\), timpul mediu de supraviețuire preconizat (al țânțarilor eliberați care au supraviețuit până la momentul \(k\)) este:

$\frac{{\sum\nolimits_{j}{a_{j} \phi^{j} j} }}}{{{sumă\nolimitele_{j} {a_{j} \phi^{j} } }}}$$

Se ajustează o estimare a \(\phi\) care echivalează timpul mediu de supraviețuire observat și cel așteptat.

(ii) Metoda Jolly-Seber (JS) utilizează eliberări și recapturi multiple pentru a estima supraviețuirea (în funcție de timp) (și alți parametri, în special abundența) și este folosită în mod obișnuit de ecologiști . În esență, metoda constă în estimarea supraviețuirii din estimări ale mărimilor populației marcate \(M_{t}\) și \(M_{t + 1}\) la momente adiacente, adică \(\hat{\phi } = \frac{{M_{t + 1} }}{{{M_{t} }}}\). Estimările lui \(M_{t}\) se obțin presupunând că ratele viitoare de recapturare a animalelor deja marcate care nu au fost capturate la momentul \(t\) sunt identice cu rata viitoare de recapturare a animalelor marcate eliberate la momentul \(t\). În cadrul modelului de bază, rata de supraviețuire poate varia în funcție de timp, dar acesta poate fi modificat pentru a permite constrângeri (de exemplu, supraviețuirea independentă de timp), iar acest lucru poate îmbunătăți precizia estimărilor. În studiile privind țânțarii, metoda JS este de obicei aplicată în întregime, deși modelul conține o componentă (modelul „Cormack-Jolly-Seber”) care este suficientă pentru estimarea supraviețuirii.

(iii) Saul a dezvoltat propriile estimări care implică soluții algebrice la ecuațiile MR. Metoda presupune o supraviețuire independentă de timp.

Alte metode de estimare

Alte metode au fost neobișnuite și nu facem mai mult decât să le menționăm. Acestea au inclus rata de declin al populației în condiții de recrutare zero ; metoda ‛Manly-Parr’ , aplicată de (deși nu a fost furnizată nicio estimare a supraviețuirii pentru această metodă); și abordări informale (de exemplu, ajustarea grafică a unei curbe de supraviețuire ).

Cercetare și meta-analiză

Pentru a capta estimări ale supraviețuirii, autorii au dezvoltat o strategie de căutare sistematică și au rulat-o în următoarele baze de date: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) și Scopus. Căutările au fost efectuate în noiembrie 2017, fără limitări de dată sau de limbă. Scopingul a indicat că Web of Science ar oferi cele mai relevante rezultate, astfel că s-a folosit o strategie mai largă decât celelalte. Strategia de căutare Web of Science: (Mosquito* sau anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or „life cycle*”)TS. Strategia de căutare Environment Complete, Global Health, Scopus și PubMED: (Mosquito* or anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or „life cycle*)TI.

Au fost apoi excluse studiile nepublicate sau care nu sunt în limba engleză, intervențiile care ar putea afecta supraviețuirea, de ex. insecticid; studii fără surse naturale de mortalitate (studii de laborator), cu excepția studiilor care utilizează ‛rata ‛imediată: rată de sporozoit întârziată’ (a se vedea mai sus), care presupune doar lipsa mortalității în momentele viitoare, dincolo de momentul estimării; studii care reanalizează datele cu un model dependent de vârstă; studii metodologice/de simulare; lucrări de analiză sau alte estimări duplicate; și studii care nu furnizează estimări. În cazul în care a fost furnizată doar o proporție de parale, am tratat-o ca pe o estimare a probabilității de supraviețuire a ciclului.

Am planificat să realizăm meta-analize cu studii ponderate prin ponderarea prin variația inversă a variației. Cu toate acestea, majoritatea studiilor verticale și a studiilor de marcare-recapturare cu eliberare unică nu au furnizat estimări ale varianței sau măsurători aferente (intervale de încredere etc.). Prin urmare, am efectuat meta-analize neponderate. Ratele de supraviețuire zilnică au fost transformate în log(odds) înainte de meta-analiză și apoi transformate invers pentru prezentare. Analiza a fost efectuată în R 3.5 cu pachetul metafor.

.