AntiderivatăEdit

Prin teorema fundamentală a calculului, integrala este antiderivata.

Dacă luăm funcția 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

, de exemplu, și o antidiferențiem, putem spune că o integrală a lui 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

este x 2 {\displaystyle x^{2}}}.

{\displaystyle x^{2}}

. Spunem o integrală, nu integrala, deoarece antiderivata unei funcții nu este unică. De exemplu, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

{\displaystyle x^{2}+17}

se diferențiază, de asemenea, la 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. Din această cauză, atunci când se ia antiderivata trebuie adăugată o constantă C. Aceasta se numește integrală nedeterminată. Acest lucru se datorează faptului că atunci când se găsește derivata unei funcții, constantele sunt egale cu 0, ca în funcția f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\},}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\},}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Observați 0: nu-l putem găsi dacă avem doar derivata, deci integrala este ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Ecuații simpleEdit

O ecuație simplă, cum ar fi y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}.

{\displaystyle y=x^{2}}

, poate fi integrată în raport cu x folosind următoarea tehnică. Pentru a integra, se adaugă 1 la puterea la care este ridicat x și apoi se împarte x la valoarea acestei noi puteri. Prin urmare, integrarea unei ecuații normale urmează această regulă: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\n}dx^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}}.

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

D x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

de la sfârșit este ceea ce arată că integrăm în raport cu x, adică pe măsură ce x se modifică. Acest lucru poate fi văzut ca fiind inversul diferențierii. Cu toate acestea, se adaugă o constantă, C, la integrare. Aceasta se numește constanta de integrare. Aceasta este necesară deoarece diferențierea unui număr întreg are ca rezultat zero, prin urmare, integrând zero (care poate fi pus la capătul oricărui integrand) se obține un număr întreg, C. Valoarea acestui număr întreg va fi găsită folosind condițiile date.

Ecuațiile cu mai mult de un termen se integrează pur și simplu prin integrarea fiecărui termen în parte:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{{\},}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\},}x^{2}dx+\int _{\,}^{\},}^{\},}3xdx-\int _{\,}^{\},}^{\},}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}-2x+C}

Integrarea care implică e și lnEdit

Există anumite reguli de integrare folosind e și logaritmul natural. Cel mai important, e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}

este integrala lui însuși (la care se adaugă o constantă de integrare): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Logaritmul natural, ln, este util la integrarea ecuațiilor cu 1 / x {\displaystyle 1/x}.

{\displaystyle 1/x}

. Acestea nu pot fi integrate cu ajutorul formulei de mai sus (adunare la puterea unu, împărțire la puterea unu), deoarece adunarea la puterea unu produce 0, iar o împărțire la 0 nu este posibilă. În schimb, integrala lui 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

este ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}}

{\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}