e

e

Definiția lui e

Există o bază specială a unei exponențiale care joacă un rol deosebit de important în matematică. Un mod de a defini e este cu formula dobânzii compuse

A = P(1 + r/n)nt

unde A corespunde sumei din contul deschis după t ani la o bancă ce oferă o rată anuală a dobânzii r compusă de n ori pe an. De exemplu, dacă n = 4, spunem că contul este capitalizat trimestrial, iar dacă n = 365, atunci contul este capitalizat zilnic. Cu cât contul este compus mai des, cu atât dobânda crește mai repede.

Dacă lăsăm

r = 1 P =1 t = 1 și x = 1/n

formula dobânzii compuse dă

f(x) = (1 + x)1/x

Putem interpreta x ca fiind fracțiunea de an în care se compune dobânda. Dacă această fracție ajunge la 0, atunci putem construi următorul tabel:

Această funcție pare să converge către un număr, pe care îl numim e.

Interesă continuă

Pentru o dobândă compusă continuu, avem formula:

A = Pert

Exemplu de inflație
Cu o rată a inflației de 8% în industria medicală, cât va costa asigurarea de sănătate peste 45 de ani dacă în prezent plătesc 200 de dolari pe lună?

Soluție
Avem
r =.08 P =200 și t = 45
Așa că

A = 200e(.08)(45) = 7319 dolari pe lună!

Modele de creștere a populației

Unul dintre cele mai simple modele de creștere a populației rezultă din ipoteza că rata de creștere este proporțională cu populația actuală. Mai târziu vom arăta că, în această ipoteză, populația Pat timp t este dată de

P = C0 ekt

Unde C0 este populația inițială și k este o constantă de proporționalitate.

Exemplu

În 1960 două sute de plante din Europa au fost aduse în SUA pentru amenajarea peisajelor. Presupunând o creștere exponențială cu o constantă de creștere de 0,1,câte plante vor fi în SUA până în anul 2050?

Soluție

Să lăsăm ca t = 0 să corespundă anului1960. Atunci C0 = 200. Modelul de creștere exponențială dă

P = 200 e0,1t

În continuare, 2050 corespunde lui t = 90. Astfel că

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

În anul2050 vor exista 1.620.616 de astfel de fabrici străine. Graficul este prezentat mai jos.

Modelul exponențial are un defect grav. Acesta presupune că populația va continua să crească indiferent de spațiu și nutrienți. Un model mai realist va ține cont de faptul că există o capacitate de încărcare,adică o populație care nu poate fi depășită. Acest model se numește curba logistică și este dat de

unde a, b și ksunt constante pozitive.

Exemplu

Populația umană (în miliarde de oameni) de pe pământ poate fi modelată prin curba de creștere logistică

unde t este anul începând cu 1970. Care va fi populația în2010? Care este capacitatea de încărcare umană a Pământului?

Soluție

Pentru a determina populația în 2010, vedem că 2010 corespunde la t = 40. Introducem acest t și folosim un calculator pentru a obține

Vor fi aproximativ 8,8 miliarde de oameni pe pământ în anul2010.

Pentru a afla capacitatea de suport, găsim limita populației pe măsură ce timpul se apropie de infinit. Din ecuație vedem că termenul exponențial ajunge la 0, deoarece exponentul este negativ. Prin urmare, capacitatea de suport L este

.