Contenit

Încercări Bernoulli

Modululul Distribuții discrete de probabilitate discută ideea unei secvențe de încercări independente, în care fiecare încercare are aceeași probabilitate de succes \(p\). Această structură conduce la un număr de variabile aleatoare cu distribuții diferite. În modulul respectiv, structura încercărilor este utilizată pentru a introduce distribuția geometrică. Datorită importanței generale a structurii de încercări, o examinăm sistematic în acest modul.

Ideea centrală este o încercare Bernoulli – numită după Jacob Bernoulli (1655-1705), care a făcut parte dintr-o familie de matematicieni proeminenți. Un proces Bernoulli este o procedură aleatorie care poate avea unul dintre cele două rezultate, care sunt etichetate în mod arbitrar drept „succes” și „eșec”.

Un proces Bernoulli are o variabilă aleatoare Bernoulli corespunzătoare, care numără numărul de succese dintr-un singur proces. Singurele valori posibile ale acestei variabile aleatoare sunt zero și unu; variabila aleatoare ia valoarea unu dacă are loc un succes, iar valoarea zero dacă are loc un eșec.

Să fie \(X\) o variabilă aleatoare Bernoulli cu parametrul \(p\), unde \(0 < p < 1\). Funcția de probabilitate \(p_X(x)\) a lui \(X\) este dată de\Media acestei variabile aleatoare este\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\ &= \bigl(0 \multime (1-p)\bigr) + \bigl(1 \multime p\bigr)\ &= p.\end{align*}Varianța lui \(X\) este egală cu \(p(1-p)\), un rezultat obținut după cum urmează:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\\ &= p(1-p).\end{align*}

Variabilele aleatoare Bernoulli apar într-un mod care se întâlnește într-adevăr foarte des. Să presupunem că suntem interesați de o populație de „unități”, în care proporția de unități cu o anumită caracteristică este \(p\). Aici, o „unitate” poate fi o persoană, un animal, o plantă, o școală, o afacere sau multe alte entități, în funcție de populația studiată. Luăm un eșantion aleatoriu de unități din populație și observăm dacă fiecare unitate are sau nu această caracteristică de interes.

Dacă populația este infinită, sau atât de mare încât o putem considera efectiv infinită, atunci eșantionarea fără înlocuire este aceeași cu eșantionarea cu înlocuire, iar dacă fiecare unitate este eșantionată independent de toate celelalte, probabilitatea ca orice unitate eșantionată să aibă caracteristica respectivă este egală cu \(p\).Dacă definim „reușita” ca „având caracteristica de interes”, atunci fiecare observație poate fi considerată ca un proces Bernoulli, independent de celelalte observații, cu o probabilitate de reușită egală cu \(p\).Importanța acestei idei constă în faptul că este atât de larg aplicabilă. Iată câteva exemple:

  • Se realizează un sondaj politic în rândul alegătorilor. Fiecare alegător chestionat este întrebat dacă aprobă sau nu în prezent primul ministru.
  • Se obține un eșantion aleatoriu de școli. Școlile sunt evaluate cu privire la respectarea de către acestea a unei politici adecvate privind expunerea la soare a elevilor lor.
  • Se intervievează un eșantion aleatoriu de personal de poliție. Fiecare persoană este evaluată dacă manifestă sau nu o conștientizare adecvată a diferitelor culturi.
  • Un eșantion aleatoriu de șoferi este testat antidrog și se înregistrează dacă este sau nu pozitiv la consumul recent de metamfetamină.
  • Se alege un eșantion aleatoriu de fotbaliști și se evaluează istoricul lor de accidentări, în funcție de faptul dacă au avut sau nu mai mult de trei episoade de comoție cerebrală.

Considerarea acestor exemple sugerează că suntem interesați de numărul de reușite, în general, și nu doar de examinarea răspunsurilor individuale. Dacă avem \(n\) încercări, vrem să știm câte dintre ele sunt succese.

Pagina următoare – Cuprins – Variabile aleatoare binomiale

 Această publicație este finanțată de către
Departamentul de Educație al Guvernului australian,
Employment and Workplace Relations		 Colaboratori
Termen de utilizare

.