Treść

Próby Bernoulliego

W module Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa omówiono ideę ciągu niezależnych prób, w którym każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu ∗. Taka struktura prowadzi do wielu zmiennych losowych o różnych rozkładach. W tym module, struktura prób jest używana do wprowadzenia rozkładu geometrycznego. Ze względu na ogólne znaczenie struktury prób, badamy ją systematycznie w tym module.

Centralną ideą jest próba Bernoulliego – nazwana tak na cześć Jacoba Bernoulliego (1655-1705), który był jednym z rodziny wybitnych matematyków. Próba Bernoulliego jest procedurą losową, która może mieć jeden z dwóch wyników, które są arbitralnie oznaczone jako „sukces” i „porażka”. Pozwólmy, aby \(X\) była zmienną losową Bernoulliego z parametrem \(p\), gdzie \(0 < p < 1\). Funkcja prawdopodobieństwa \(p_X(x)\) zmiennej losowej jest dana przez \ Średnia tej zmiennej losowej wynosi \begin{align*}mu_X = \mathrm{E}(X) &= \suma x, p_X(x) &= \bigl(0 \times (1-p)\bigr) + \bigl(1 \times p\bigr)\ &= p.\end{align*} Wariancja \(X) jest równa \(p(1-p)\), co otrzymujemy w następujący sposób:\begin{align*} \mathrm{var}(X) &= \suma (x- \u_X)^2 p_X(x) \u &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \u &= p(1-p)\u(p+(1-p)\u_x) \u &= p(1-p).\end{align*}

Zmienne losowe Bernoulliego powstają w sposób, który występuje bardzo często. Załóżmy, że interesuje nas populacja „jednostek”, w której odsetek jednostek posiadających daną cechę jest równy p. W tym przypadku „jednostką” może być osoba, zwierzę, roślina, szkoła, firma lub wiele innych podmiotów, w zależności od badanej populacji. Bierzemy losową próbkę jednostek z populacji i obserwujemy, czy każda z nich posiada interesującą nas cechę. Jeśli populacja jest nieskończona lub tak duża, że możemy ją uznać za efektywnie nieskończoną, wtedy próbkowanie bez zastąpienia jest tym samym, co próbkowanie z zastąpieniem, a jeśli każda jednostka jest próbkowana niezależnie od wszystkich innych, prawdopodobieństwo, że każda pojedyncza próbkowana jednostka posiada daną cechę jest równe prawdopodobieństwu.Jeśli zdefiniujemy „sukces” jako „posiadanie interesującej nas cechy”, wtedy każda obserwacja może być traktowana jako próba Bernoulliego, niezależna od innych obserwacji, z prawdopodobieństwem sukcesu równym ∗. Znaczenie tego spostrzeżenia polega na tym, że jest ono tak szeroko stosowane. Oto kilka przykładów:

  • Przeprowadzany jest sondaż polityczny wśród wyborców. Każdy ankietowany wyborca jest pytany, czy obecnie aprobuje premiera.
  • Uzyskuje się losową próbkę szkół. Szkoły są oceniane pod względem ich zgodności z odpowiednią polityką dotyczącą ekspozycji na słońce dla swoich uczniów.
  • Przeprowadza się wywiady z losową próbką pracowników policji. Każda osoba jest oceniana pod kątem tego, czy wykazuje odpowiednią świadomość różnych kultur.
  • Losowa próba kierowców jest poddawana testom na obecność narkotyków i odnotowuje się, czy ich wynik jest pozytywny, czy też nie, pod kątem niedawnego zażywania metamfetaminy.
  • Losowa próbka piłkarzy jest wybrana i ich zapis urazów oceniane, zgodnie z tym, czy mieli więcej niż trzy epizody concussion.

Rozważenie tych przykładów sugeruje, że jesteśmy zainteresowani w liczbie sukcesów, w ogóle, a nie tylko badanie indywidualnych odpowiedzi. Jeśli mamy ∗ prób, chcemy wiedzieć, ile z nich to sukcesy.

Następna strona – Treść – Dwumianowe zmienne losowe

 Ta publikacja jest finansowana przez
Rząd Australijski Departament Edukacji,
Employment and Workplace Relations		 Contributors
Term of use

.