AntyróżniczkaEdit

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku, całka jest antyróżniczką.

Jeśli weźmiemy funkcję 2 x {displaystyle 2x}

{displaystyle 2x}

, na przykład, i antyróżniczkujemy ją, to możemy powiedzieć, że całka z 2 x {{displaystyle 2x}

{displaystyle 2x}

jest x 2 {{displaystyle x^{2}}

{displaystyle x^{2}}

. Mówimy całka, a nie całka, ponieważ antyprzykład funkcji nie jest unikalny. Na przykład, x 2 + 17 {{displaystyle x^{2}+17}}

{displaystyle x^{2}+17}

również różniczkuje do 2 x {displaystyle 2x}

{displaystyle 2x}

. Z tego powodu, biorąc antyprzykład, należy dodać stałą C. Nazywa się to całką nieokreśloną. Dzieje się tak dlatego, że przy znajdowaniu pochodnej funkcji stałe są równe 0, jak w funkcji f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {{displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15}

{displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {{displaystyle f'(x)=10x+9+0},}

{displaystyle f'(x)=10x+9+0},}

. Zwróć uwagę na 0: nie możemy go znaleźć, jeśli mamy tylko pochodną, więc całka to ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {displaystyle \int (10x+9)\, dx=5x^{2}+9x+C}.

{displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Równania prosteEdycja

Proste równanie, takie jak y = x 2 {{displaystyle y=x^{2}}

{displaystyle y=x^{2}}

, może być całkowane względem x przy użyciu następującej techniki. Aby całkować, dodajemy 1 do potęgi, do której podnosimy x, a następnie dzielimy x przez wartość tej nowej potęgi. Dlatego całkowanie równania normalnego odbywa się według następującej reguły: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {{displaystyle ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫x^{n}dx={{frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

{displaystyle {int _{{}^{},}x^{n}dx={{frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

The d x {displaystyle dx}

{displaystyle dx}

na końcu jest tym, co pokazuje, że całkujemy względem x, czyli że x się zmienia. Można to uznać za odwrotność różniczkowania. Jednak podczas całkowania dodawana jest stała, C. Nazywa się ją stałą całkowania. Nazywamy ją stałą całkowania. Jest ona wymagana, ponieważ różniczkując liczbę całkowitą otrzymujemy zero, zatem całkując zero (które można dopisać na końcu dowolnej całki) otrzymujemy liczbę całkowitą C. Wartość tej liczby całkowitej znajdziemy korzystając z danych warunków.

Rozwiązania o więcej niż jednym wyrazie całkuje się po prostu przez całkowanie każdego wyrazu z osobna:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {displaystyle ∫ int _{,^{},}x^{2}+3x-2dx=int _{},}^{},}x^{2}dx+int _{},}^{},}3xdx-int _{},}^{},}2dx={frac {x^{3}}{3}}+{frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}.

{{displaystyle \\}int _{},}x^{2}+3x-2dx={frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{2}}{2}}}x+{frac {x^{3}}{2}}{2}x-{frac {x^{3}}{2}}{2}},2dx={frac {x^{3}}{3}}+{frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Całkowanie z użyciem e i lnEdit

Istnieją pewne reguły całkowania z użyciem e i logarytmu naturalnego. Przede wszystkim, e x {{x}}

{displaystyle e^{x}}

jest całką z samej siebie (z dodaniem stałej całkowania): ∫ e x d x = e x + C {displaystyle ∫ e x d x = e x + C}

{displaystyle int _{}^{},}e^{x}dx=e^{x}+C}

Logarytm naturalny, ln, jest przydatny przy całkowaniu równań z 1 / x {displaystyle 1/x}

{displaystyle 1/x}

. Te nie mogą być zintegrowane przy użyciu powyższego wzoru (dodaj jeden do potęgi, podziel przez potęgę), ponieważ dodanie jednego do potęgi daje 0, a podział przez 0 nie jest możliwy. Zamiast tego, całka z 1 / x {{displaystyle 1/x}

{displaystyle 1/x}

jest ln x

{displaystyle ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {{displaystyle \\int _{x,}^{frac {1}{x}}dx= ln x+C}.

{displaystyle \int _{{}^{{}, \frac {1}{x}}dx= ln x+C}}

.