e

e

Definicja e

Istnieje specjalna podstawa wykładnicza, która odgrywa szczególnie ważną rolę w matematyce. Jednym ze sposobów zdefiniowania e jest wzór na procent składany

A = P(1 + r/n)nt

gdzie A odpowiada kwocie na koncie po t latach w banku, który daje roczną stopę procentową r składanąn razy w roku. Na przykład, jeśli n = 4, to mówimy, że oprocentowanie konta jest obliczane kwartalnie, a jeśli n = 365, to jest obliczane codziennie. Im częściej konto jest składane, tym szybciej rosną odsetki.

Jeśli pozwolimy

r = 1 P =1 t = 1 i x = 1/n

to wzór na odsetki składane daje

f(x) = (1 + x)1/x

Możemy zinterpretować x jako ułamek roku, w którym odsetki rosną. Jeśli ten ułamek jest równy 0, to możemy skonstruować następującą tabelę:

Ta funkcja wydaje się być zbieżna do pewnej liczby, którą nazywamy e.

Oprocentowanie ciągłe

Dla odsetek składanych w sposób ciągły mamy wzór:

A = Pert

Przykład inflacji
Przy 8% stopie inflacji w branży zdrowotnej, ile będzie kosztować ubezpieczenie zdrowotne za 45 lat, jeśli obecnie płacę 200 dolarów miesięcznie?

Rozwiązanie
Mamy
r =.08 P =200 i t = 45
Więc

A = 200e(.08)(45) = $7319 miesięcznie!

Modele wzrostu populacji

Jeden z najprostszych modeli wzrostu populacji powstaje przy założeniu, że tempo wzrostu jest proporcjonalne do aktualnej populacji. Później pokażemy, że przy takim założeniu populacja w czasie t jest dana przez

P = C0 ekt

Gdzie C0 jest populacją początkową, a k jest stałą proporcjonalności.

Przykład

W 1960 roku dwieście roślin z Europy zostało sprowadzonych do USA w celu zasadzenia w krajobrazie. Zakładając wzrost wykładniczy o stałej wzrostu 0,1, ile roślin będzie w USA do roku 2050?

Rozwiązanie

Pozwalamy, aby t = 0 odpowiadało rokowi 1960. Wtedy C0 = 200. Model wzrostu wykładniczego daje

P = 200 e0.1t

Następnie, rok 2050 odpowiada t = 90. Zatem

P(90) = 200 e(0.1)(90) = 1,620,616

Do roku 2050 będzie 1,620,616 tych zagranicznych zakładów. Wykres jest pokazany poniżej.

Model wykładniczy ma poważną wadę. Zakłada on, że populacja będzie nadal rosła niezależnie od przestrzeni i składników odżywczych. Moralistyczny model będzie uwzględniał fakt, że istnieje pojemność środowiska, czyli populacja, która nie może zostać przekroczona. Model ten nazywa się sekwencją logistyczną i jest dany wzorem

gdzie a, b i k są stałymi dodatnimi.

Przykład

Ludzka populacja (w miliardach ludzi) na Ziemi może być modelowana przez logistyczną krzywą wzrostu

gdzie t jest rokiem od 1970. Ile będzie wynosiła liczba ludności w roku 2010? Jaka jest pojemność ludzka Ziemi?

Rozwiązanie

Aby określić liczbę ludności w 2010 roku, widzimy, że rok 2010 odpowiada t = 40. Wstawiamy to t i używamy kalkulatora, aby otrzymać

W roku 2010 na Ziemi będzie około 8,8 miliarda ludzi.

Aby znaleźć pojemność środowiska, znajdujemy granicę populacji w miarę jak czas zbliża się do nieskończoności. Z równania widzimy, że termin wykładniczy dąży do 0, ponieważ wykładnik jest ujemny. Stąd nośność L wynosi

.