Integrale

AntiderivataModifica

Per il teorema fondamentale del calcolo, l’integrale è l’antiderivata.

Se prendiamo la funzione 2 x {\displaystyle 2x}

, per esempio, e antidifferenziarla, possiamo dire che un integrale di 2 x {\displaystyle 2x}

è x 2 {displaystyle x^{2}

. Diciamo un integrale, non l’integrale, perché l’antiderivata di una funzione non è unica. Per esempio, x 2 + 17 {displaystyle x^{2}+17}

differenzia anche a 2 x {displaystyle 2x}

. Per questo motivo, quando si prende l’antiderivata si deve aggiungere una costante C. Questo è chiamato un integrale indefinito. Questo perché quando si trova la derivata di una funzione, le costanti sono uguali a 0, come nella funzione f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Notate lo 0: non possiamo trovarlo se abbiamo solo la derivata, quindi l’integrale è ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Equazioni sempliciModifica

Un’equazione semplice, come y = x 2 {displaystyle y=x^{2}

, può essere integrata rispetto a x usando la seguente tecnica. Per integrare, si aggiunge 1 alla potenza a cui viene elevato x e poi si divide x per il valore di questa nuova potenza. Pertanto, l’integrazione di un’equazione normale segue questa regola: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{{\\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}{n+1}}+C}

La d x {displaystyle dx}

alla fine è ciò che mostra che stiamo integrando rispetto a x, cioè mentre x cambia. Questo può essere visto come l’inverso della differenziazione. Tuttavia, c’è una costante, C, aggiunta quando si integra. Questa è chiamata la costante di integrazione. Questo è necessario perché differenziando un intero si ottiene zero, quindi integrando zero (che può essere messo alla fine di qualsiasi integranda) si ottiene un intero, C. Il valore di questo intero sarebbe trovato usando le condizioni date.

Le equazioni con più di un termine si integrano semplicemente integrando ogni singolo termine:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,^{{{{2}+3x-2dx=int _{{{{3},}x^{2}dx+int _{{{3},}3xdx-int _{{{3},}2dx={frac {x^{3}}{3}+{{frac {3x^{2}}{2}-2x+C}

Integrazione con e e lnEdit

Ci sono alcune regole per integrare usando e e e il logaritmo naturale. La più importante è che e x {displaystyle e^{x}}

è l’integrale di se stesso (con l’aggiunta di una costante di integrazione): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\\\\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Il logaritmo naturale, ln, è utile quando si integrano equazioni con 1 / x {\displaystyle 1/x}

. Questi non possono essere integrati usando la formula sopra (aggiungi uno alla potenza, dividi per la potenza), perché aggiungendo uno alla potenza si ottiene 0, e una divisione per 0 non è possibile. Invece, l’integrale di 1 / x {\displaystyle 1/x}

è ln x {displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\\a6}^{\a6}dx=\ln x+C}