e

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Definizione di e

C’è una base speciale di un esponenziale che gioca un ruolo particolarmente importante in matematica. Un modo di definire e è la formula dell’interesse composto

A = P(1 + r/n)nt

dove A corrisponde all’importo del conto dopo t anni in una banca che dà un tasso di interesse annuale r composto n volte all’anno. Per esempio se n = 4 diciamo che il conto è composto trimestralmente e se n = 365 allora il conto è composto giornalmente. Più spesso il conto è composto, più velocemente cresce l’interesse.

Se lasciamo

r = 1 P =1 t = 1 e x = 1/n

la formula dell’interesse composto dà

f(x) = (1 + x)1/x

Possiamo interpretare x come la frazione di un anno che l’interesse si compone. Se questa frazione arriva a 0, allora possiamo costruire la seguente tabella:

Questa funzione sembra convergere verso un numero, che chiamiamo e.

Interesse continuo

Per l’interesse composto continuamente, abbiamo la formula:

A = Pert

Esempio di inflazione
Con un tasso di inflazione dell’8% nel settore sanitario, quanto costerà l’assicurazione sanitaria tra 45 anni se attualmente pago 200 dollari al mese?

Soluzione
Abbiamo
r =.08 P =200 e t = 45
Così che

A = 200e(.08)(45) = $7319 al mese!

Modelli di crescita della popolazione

Uno dei modelli più semplici per la crescita della popolazione deriva dall’assunzione che il tasso di crescita sia proporzionale alla popolazione attuale. Più avanti mostreremo che sotto questa assunzione, la popolazione Pat tempo t è data da

P = C0 ekt

dove C0 è la popolazione iniziale e k è una costante di proporzionalità.

Esempio

Nel 1960 duecento piante dall’Europa sono state portate negli Stati Uniti per la paesaggistica. Assumendo una crescita esponenziale con una costante di crescita di 0,1, quante piante ci saranno negli Stati Uniti entro l’anno 2050?

Soluzione

Facciamo corrispondere t = 0 all’anno 1960. Allora C0 = 200. Il modello di crescita esponenziale dà

P = 200 e0.1t

Poi, il 2050 corrisponde a t = 90. Così che

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

Ci saranno 1.620.616 di questi impianti stranieri entro l’anno2050. Il grafico è mostrato qui sotto.

Il modello esponenziale ha un grave difetto. Presuppone che la popolazione continui a crescere indipendentemente dallo spazio e dai nutrienti. Un modello più realistico terrà conto del fatto che esiste una capacità di carico, cioè una popolazione che non può essere superata. Questo modello è chiamato sequenza logistica ed è dato da

dove a, b, e k sono costanti positive.

Esempio

La popolazione umana (in miliardi di persone) sulla terra può essere modellata dalla curva di crescita logistica

dove t è l’anno dal 1970. Quale sarà la popolazione nel 2010? Qual è la capacità di carico umano della terra?

Soluzione

Per determinare la popolazione nel 2010, vediamo che il 2010 corrisponde a t = 40. Inseriamo questo t e usiamo una calcolatrice per ottenere

Ci saranno circa 8,8 miliardi di persone sulla terra nell’anno 2010.

Per trovare la capacità di carico, troviamo il limite della popolazione quando il tempo si avvicina all’infinito. Dall’equazione vediamo che il termine esponenziale va a 0 poiché l’esponente è negativo. Quindi la capacità di carico L è

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