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Prove di Bernoulli

Il modulo Distribuzioni di probabilità discrete discute l’idea di una sequenza di prove indipendenti, dove ogni prova ha la stessa probabilità di successo \(p\). Questa struttura porta ad un certo numero di variabili casuali con diverse distribuzioni. In quel modulo, la struttura delle prove è usata per introdurre la distribuzione geometrica. A causa dell’importanza generale della struttura delle prove, la esaminiamo sistematicamente in questo modulo.

L’idea centrale è una prova di Bernoulli – dal nome di Jacob Bernoulli (1655-1705), che era uno di una famiglia di importanti matematici. Una prova di Bernoulli è una procedura casuale che può avere uno dei due risultati, che sono arbitrariamente etichettati come “successo” e “fallimento”.

Una prova di Bernoulli ha una corrispondente variabile casuale di Bernoulli, che conta il numero di successi in una singola prova. Gli unici valori possibili di questa variabile casuale sono zero e uno; la variabile casuale assume il valore uno se si verifica un successo, e il valore zero se si verifica un fallimento.

Sia \(X\) una variabile casuale di Bernoulli con parametro \(p\), dove \(0 < p < 1\). La funzione di probabilità \(p_X(x)\) di \(X\) è data da \La media di questa variabile casuale è \begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \7195>= \bigl(0 \volte (1-p)\bigr) + \bigl(1 \volte p\bigr)\\ &= p.\La varianza di \(X\) è uguale a \(p(1-p)\, un risultato ottenuto come segue:\mathrm{var}(X) &= \somma (x-\mu_X)^2 p_X(x) &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) &= p(1-p).\fine{align*}

Le variabili casuali di Bernoulli si presentano in un modo che è molto diffuso. Supponiamo di essere interessati a una popolazione di “unità”, in cui la proporzione di unità con una particolare caratteristica è \(p\). Qui una ‘unità’ può essere una persona, un animale, una pianta, una scuola, un’azienda, o molte altre entità, secondo la popolazione in studio. Prendiamo un campione casuale di unità dalla popolazione, e osserviamo se ogni unità ha o meno questa caratteristica di interesse.

Se la popolazione è infinita, o così grande che possiamo considerarla effettivamente infinita, allora il campionamento senza sostituzione è uguale al campionamento con sostituzione, e se ogni unità è campionata indipendentemente da tutte le altre, la probabilità che ogni singola unità campionata abbia la caratteristica è uguale a \(p\).Se definiamo “successo” come “avere la caratteristica di interesse”, allora ogni osservazione può essere considerata come una prova di Bernoulli, indipendente dalle altre osservazioni, con probabilità di successo pari a \(p\).L’importanza di questa intuizione è che è così ampiamente applicabile. Ecco alcuni esempi:

  • Viene effettuato un sondaggio politico tra gli elettori. Ad ogni elettore intervistato viene chiesto se attualmente approva o meno il primo ministro.
  • Si ottiene un campione casuale di scuole. Le scuole sono valutate sulla loro conformità con una politica adeguata sull’esposizione al sole per i loro studenti.
  • Un campione casuale di personale di polizia viene intervistato. Ogni persona viene valutata in base al fatto che mostri o meno un’adeguata consapevolezza delle diverse culture.
  • Un campione casuale di autisti viene sottoposto a test antidroga, e viene registrato se sono positivi o meno all’uso recente di metanfetamine.
  • Si sceglie un campione casuale di calciatori e si valuta il loro record di infortuni, a seconda che abbiano avuto o meno più di tre episodi di commozione cerebrale.

La considerazione di questi esempi suggerisce che siamo interessati al numero di successi, in generale, e non solo all’esame delle risposte individuali. Se abbiamo \(n)prove, vogliamo sapere quante di esse sono successi.

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