Tartalom

Bernoulli-próbák

A diszkrét valószínűségeloszlások modul a független próbák sorozatának gondolatát tárgyalja, ahol minden egyes próbának azonos a siker valószínűsége \(p\). Ez a struktúra számos különböző eloszlású véletlen változóhoz vezet. Ebben a modulban a próbák szerkezetét a geometriai eloszlás bevezetésére használjuk. A próbák szerkezetének általános fontossága miatt ebben a modulban szisztematikusan megvizsgáljuk.

A központi gondolat a Bernoulli-próba – nevét Jacob Bernoulli (1655-1705) után kapta, aki egy kiemelkedő matematikuscsalád tagja volt. A Bernoulli-próba egy olyan véletlenszerű eljárás, amelynek kétféle kimenetele lehet, amelyeket tetszőlegesen “sikerrel” és “kudarccal” jelölünk.

Egy Bernoulli-próbának van egy megfelelő Bernoulli-véletlen változója, amely a sikerek számát számolja egyetlen próbában. E véletlen változó egyetlen lehetséges értéke a nulla és az egy; a véletlen változó siker esetén az egyes értéket veszi fel, kudarc esetén pedig a nullát.

Legyen \(X\) egy Bernoulli véletlen változó \(p\) paraméterrel, ahol \(0 < p < 1\). Az \(X\) valószínűségi függvénye \(p_X(x)\) a következő: \A véletlen változó átlaga\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\\ &= \bigl(0 \szor (1-p)\bigr) + \bigl(1 \szor p\bigr)\\\ &= p.\end{align*}Az \(X\) szórása egyenlő \(p(1-p)\), amit az alábbiak szerint kapunk:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \összeg (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\\ &= p(1-p).\end{align*}

A Bernoulli véletlen változók valóban nagyon széles körben előforduló módon keletkeznek. Tegyük fel, hogy egy “egységekből” álló populáció érdekel minket, amelyben az egy adott tulajdonsággal rendelkező egységek aránya \(p\). Itt az “egység” lehet egy ember, egy állat, egy növény, egy iskola, egy vállalkozás vagy sok más egység, a vizsgált populációtól függően. A populációból véletlenszerű mintát veszünk az egységekből, és megfigyeljük, hogy az egyes egységek rendelkeznek-e az adott jellemzővel vagy sem.

Ha a populáció végtelen, vagy olyan nagy, hogy ténylegesen végtelennek tekinthetjük, akkor a csere nélküli mintavétel ugyanaz, mint a csere nélküli mintavétel, és ha minden egységet az összes többitől függetlenül veszünk, akkor annak a valószínűsége, hogy bármelyik mintavételezett egység rendelkezik a jellemzővel, egyenlő \(p\).Ha a “sikert” úgy definiáljuk, hogy “rendelkezik a kívánt jellemzővel”, akkor minden egyes megfigyelés egy Bernoulli-próbának tekinthető, amely független a többi megfigyeléstől, és a siker valószínűsége egyenlő \(p\).Ennek a felismerésnek az a jelentősége, hogy ilyen széles körben alkalmazható. Íme néhány példa:

  • Politikai közvélemény-kutatást végeznek a választók körében. Minden megkérdezett szavazótól megkérdezik, hogy jelenleg helyesli-e a miniszterelnök személyét.
  • Iskolákból véletlenszerű mintát vesznek. Az iskolákat értékelik, hogy betartják-e a diákjaik napozására vonatkozó megfelelő politikát.
  • A rendőrségi személyzet véletlenszerű mintáját kérdezik meg. Mindegyik személyt értékelik, hogy megfelelő tudatosságot mutatnak-e a különböző kultúrák iránt.
  • A járművezetők véletlenszerű mintáján drogtesztet végeznek, és rögzítik, hogy a közelmúltbeli metamfetamin-használatuk pozitív volt-e vagy sem.
  • A labdarúgók véletlenszerű mintáját kiválasztják, és felmérik a sérüléseik számát, aszerint, hogy volt-e háromnál több agyrázkódásos epizódjuk vagy sem.

Ezek a példák megfontolása azt sugallja, hogy általában véve a sikerek száma érdekel bennünket, és nem csak az egyes válaszok vizsgálata. Ha \(n\) kísérletünk van, akkor azt szeretnénk tudni, hogy ezek közül mennyi a siker.

Következő oldal – Tartalom – Binomiális véletlen változók

 Ezt a kiadványt a
Ausztrál kormány oktatási minisztériuma finanszírozza,
Foglalkoztatás és munkahelyi kapcsolatok		 Közreműködők
Feltétel