AntideriváltSzerkesztés

A számtan alaptétele szerint az integrál az antiderivált.

Ha vesszük a 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

például, és antidifferenciáljuk, azt mondhatjuk, hogy a 2 x {\displaystyle 2x} integrálja

{\displaystyle 2x}

az x 2 {\displaystyle x^{2}}

{\displaystyle x^{2}}

. Azért mondjuk integrálnak, nem integrálnak, mert egy függvény antideriváltja nem egyedi. Például: x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}}

{\displaystyle x^{2}+17}

is differenciálódik 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. Emiatt az antiderivált felvétele során egy C konstansot kell hozzáadni. Ezt határozatlan integrálnak nevezzük. Ennek oka, hogy egy függvény deriváltjának megtalálásakor a konstansok 0-val egyenlőek, mint az f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

függvényben. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Figyeljük meg a 0-t: nem tudjuk megtalálni, ha csak a deriváltunk van, így az integrál ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}}

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Egyszerű egyenletek szerkesztése

Egy egyszerű egyenlet, például y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}

{\displaystyle y=x^{2}}}

, a következő technikával integrálható x tekintetében. Az integráláshoz hozzáadunk 1-et ahhoz a hatványhoz, amelyre x-et emeltük, majd elosztjuk x-et ennek az új hatványnak az értékével. Egy normálegyenlet integrálása tehát a következő szabály szerint történik: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

A d x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

a végén az, ami azt mutatja, hogy x tekintetében integrálunk, vagyis ahogy x változik. Ez láthatóan a differenciálás inverze. Az integráláskor azonban egy C nevű konstans is hozzáadódik. Ezt nevezzük az integrálás állandójának. Erre azért van szükség, mert egy egész szám differenciálása nullát eredményez, ezért a nulla integrálása (amely bármely integráns végére feltehető) egy egész számot, C-t eredményez. Ennek az egész számnak az értékét a megadott feltételek segítségével találnánk meg.

A több tagot tartalmazó egyenleteket egyszerűen úgy integráljuk, hogy minden egyes tagot integrálunk:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}-2x+C}

Integrálás e és lnEdit

Vannak bizonyos szabályok az e és a természetes logaritmus segítségével történő integrálásra. A legfontosabb, hogy e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}}

önmaga integrálja (egy integrációs konstans hozzáadásával): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

A természetes logaritmus, ln, akkor hasznos, ha 1 / x {\displaystyle 1/x} egyenleteket integrálunk.

{\displaystyle 1/x}

. Ezek nem integrálhatók a fenti képlettel (eggyel hatványozni, hatványon osztani), mert az eggyel hatványozás 0-t eredményez, és a 0-val való osztás nem lehetséges. Ehelyett az 1 / x integrálja {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}}

{\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}