e

e

az e definíciója

Az exponenciálisnak van egy speciális alapja, amely különösen fontos szerepet játszik a matematikában. Az e meghatározásának egyik módja a kamatos kamat képlete

A = P(1 + r/n)nt

ahol A megfelel annak az összegnek, amely t év után egy olyan bankban lévő számlán van, amely r éves kamatlábat ad évi n-szer kamatoztatva. Például ha n = 4, akkor azt mondjuk, hogy a számla negyedévente kamatozik, ha pedig n = 365, akkor a számla naponta kamatozik. Minél gyakrabban kamatozik a számla, annál gyorsabban nő a kamat.

Ha hagyjuk, hogy

r = 1 P =1 t = 1 és x = 1/n

akkor a kamatos kamat képlete

f(x) = (1 + x)1/x

Az x-et úgy értelmezhetjük, mint az évnek azt a töredékét, amelyben a kamat kamat kamatozik. Ha ez a töredék 0-ra megy, akkor a következő táblázatot állíthatjuk össze:

Ez a függvény látszólag egy számhoz konvergál, amit e-nek nevezünk.

Folyamatos kamat

A folyamatosan kamatozó kamatra a következő képletet kapjuk:

A = Pert

Inflációs példa
Az egészségügyben 8%-os infláció mellett mennyibe fog kerülni az egészségbiztosítás 45 év múlva, ha jelenleg havi 200 dollárt fizetek?

megoldás
Megvan
r =.08 P =200 és t = 45
Így

A = 200e(.08)(45) = 7319 $ havonta!

Népességnövekedési modellek

A népességnövekedés egyik legegyszerűbb modellje abból a feltételezésből ered, hogy a növekedés mértéke arányos az aktuális népességszámmal. Később megmutatjuk, hogy e feltételezés mellett a népesség Pat t időpontban a

P = C0 ekt

Melyben C0 a kezdeti népesség és k egy arányossági állandó.

Példa

1960-ban kétszáz növényt hoztak Európából az USA-ba tájképi célokra. Feltételezve exponenciális növekedést 0,1 növekedési állandóval,hány növény lesz az USA-ban 2050-re?

Megoldás

Legyen t = 0 az1960-as évnek megfelelően. Ekkor C0 = 200. Az exponenciális növekedési modell szerint

P = 200 e0,1t

A következő, 2050 megfelel t = 90-nek. Tehát

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

2050-re 1.620.616 ilyen külföldi üzem lesz. A grafikon alább látható.

Az exponenciális modellnek van egy komoly hibája. Feltételezi, hogy a népesség a helytől és a tápanyagoktól függetlenül tovább növekszik. Egy reálisabb modell figyelembe veszi azt a tényt, hogy van egy eltartóképesség,azaz egy olyan népesség, amelyet nem lehet túllépni. Ezt a modellt logisztikus szekvenciának nevezik, és a

ahol a, b és k pozitív konstansok.

Példa

A Föld emberi népességét (milliárd emberben) a logisztikus növekedési görbével lehet modellezni

ahol t az 1970 óta eltelt év. Mennyi lesz a népesség 2010-ben? Mekkora a Föld emberi teherbíró képessége?

Megoldás

A 2010-es népesség meghatározásához azt látjuk, hogy 2010 megfelel t = 40-nek. Ezt a t-t bedugjuk, és egy számológép segítségével megkapjuk

A 2010-es évben körülbelül 8,8 milliárd ember lesz a Földön.

A teherbíró képesség megállapításához megkeressük a népesség határát, ahogy az idő közeledik a végtelenhez. Az egyenletből láthatjuk, hogy az exponenciális kifejezés 0-ra megy, mivel az exponens negatív. Ennélfogva az L teherbíró képesség