Vertikální metody

Matrixové populační modely

Předpokládáme model s diskrétním časem, v němž časové kroky představují cyklus krmení-ovipozice komára, v němž je pravděpodobnost přežití (\(\phi\)). V literatuře se to vztahuje k pravděpodobnosti denního přežití (\(p\)) podle vztahu

$$p^{d} = \phi$$
(1)

kde \(d\) je délka cyklu ve dnech.

Věkově strukturovaná matice Nejprve popíšeme dynamiku populace dospělých komárů ve formě obecné věkově strukturované matice:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(2)

kde \(f_{i}\) je plodnost na hlavu a \(\phi_{i}\) je pravděpodobnost přežití (za cyklus) věkové třídy i. Toto je správný tvar pro komáry za všeobecně přijímaného předpokladu, že nedochází ke stárnutí (přežití nezávislé na věku).

Za určitých podmínek, kdy existuje nejstarší věková třída \(m\), která nepřežívá (\(\phi_{m} = 0\); ‛Leslieho matice‘), nebo když nejstarší věková třída představuje všechny živočichy tohoto věku a starší se stejnou pravděpodobností přežití (viz ; ‛Usherova matice‘), je nekonečná matice v (rovn. 2) lze považovat za konečnou takto:

V obou případech platí některé výsledky teorie stabilních populací pouze za slabých předpokladů , zejména že dlouhodobé struktury populace je dosaženo bez ohledu na počáteční podmínky (je ‛ergodická‘ ). Počet jedinců ve věkové třídě i při této stabilní věkové struktuře je dán vztahem:

$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \prod\limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} }$$
(4)

kde \(\lambda\) je míra růstu populace.

Konvenční modely komárů běžně předpokládají stejné (na věku nezávislé) pravděpodobnosti přežití (řekněme \(\phi\)) věkových tříd \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\) a na věku nezávislou plodnost \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\). Dalším běžným předpokladem je, že věkové třídy komárů mají stejnou délku (nejspíše délku ovipozičního nebo gonotrofního cyklu). Při stabilním věkovém rozdělení se počet ve věkové třídě i redukuje na :

$$x_{i} = x_{0}. \left( {\frac{\phi }{\lambda }} \right)^{i}$$
(5)

Jestliže je navíc populace stacionární (\(\lambda = 1)\), pak je vztah mezi sousedními věkovými třídami dán:

$\frac{{x_{i} }}{{x_{i – 1} }} = \phi$$
(6)

Tento výsledek alespoň implicitně použilo mnoho studií o komárech.

Stupňovitě strukturovaná matice Alternativní formulací je stupňovitě strukturovaný model , kde jsou jedinci klasifikováni podle životního stadia nebo velikosti, nikoli podle věku. Na rozdíl od Leslieho modelu umožňují stupňovitě klasifikované modely ‛samostatné smyčky‘, kdy stav ‛přechod‘ může vést sám k sobě. Fyziologické markery věku, které lze použít v literatuře o komárech, popisuje Silver . Nejčastěji využívaným markerem stadia je stav kladení vajíček komáří samičkou, nejjednodušeji (a nejčastěji) to, zda komár dříve kladl (je parous) nebo nekladl vajíčka (je nulliparous). Pro model nulliparous/parous:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(7)

Pro populaci v rovnováze máme \(\frac{{x_{p} }}{{x_{0} }} = \frac{\phi }{1 -. \phi }\) (srov. Rovnice 6) nebo

$$\phi = \frac{{x_{p} }}{{x_{0} + x_{p} }}$$
(8)

Stupňovitě strukturovaný model nemusí mít vlastnost ‛ergodický‘, tj. jeho dlouhodobý stav může záviset na počátečních podmínkách.

Matrice stavu nemoci Po počáteční infekci se malarický parazit vyvíjí po dobu ‛extrinsické inkubační doby‘ (EIP), aby způsobil, že se hostitel komár nakazí sporozoity. Na infekčnost komára lze pohlížet jako na hrubý ukazatel stáří, nebo ji explicitně charakterizovat podle stavu přenášení nemoci. V druhém případě, a abychom ukázali souvislost s ostatními výše uvedenými přístupy, zapíšeme proces v maticovém tvaru s diskrétním časem (srovnejte s dřívějšími rovnicemi. 2 a 7, kde byli komáři kategorizováni podle věku nebo parity):

$$\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(9)

kde \(S\),\(E\),\(I\) označují vnímavé, exponované (infikované, ale ne infekční) a infekční komáry; \(\omega\) je pravděpodobnost infekce (přechod vnímavého komára na infikovaného); \(\gamma\) je pravděpodobnost přechodu infikovaného komára do infekčního stavu; \(\xi\) je pravděpodobnost, že komár přežije EIP, předpokládá se, že je stejná pro všechny třídy, a \(n\) je EIP ve dnech.

Poznamenejme, že \(\xi\) lze zapsat z hlediska denního přežití jako \(p^{n}\).

Zdůrazňujeme, že rovnice 9 je velmi zjednodušená: člen pravděpodobnosti infekce \(\omega\) je funkcí dalších parametrů, včetně zejména počtu infekčních hostitelů, jako jsou lidé. Rovnice je zjevně součástí širšího systému onemocnění, který zahrnuje i dynamiku hostitelů z řad obratlovců. Byla studována mnohem úplnější forma tohoto systému s diskrétním časem .

Můžeme zkoumat systém, když je podle předpokladu v rovnováze, takže \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( {t + n} \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}{x}^{ *}\), řekněme. Je-li přechod od nakaženého k infekčnímu jistý (\(\gamma = 1\)), pak třetí řádek rovnice 9 dává, že \(\xi \left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right) = x_{I}^{ *}\), takže:

$$\xi = \frac{{x_{I}^{ *}}. }}{{\left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}$$
(10)

Pravou stranu lze zapsat ekvivalentně a ve známější podobě jako \(s/Y\). Zde \(s\) je podíl infekčních (podíl komárů obsahujících sporozoity ve slinných žlázách) a \(Y\) je podíl infikovaných komárů.

V literatuře je mnohem běžnější používat k popisu systému stavu nemoci dynamické rovnice ve formě spojitého času než ve formě diskrétního času. Při použití první z nich různí autoři uvádějí výrazy pro rychlost výskytu sporozoitů \(s\), která se zapisuje jako :

$$\frac{acX}{g + acX}{ \exp }\left( { – gn} \right)$$

kde \(a\) je míra kousnutí, \(g\) je spojitá míra úmrtnosti, \(c\) je pravděpodobnost, že se neinfikovaný komár nakazí po kousnutí infekčním člověkem, a \(X\) je podíl infikovaných lidí. Levý člen je podíl nakažených komárů (\(Y\)) a pravý člen je pravděpodobnost přežití EIP (\(\xi\)), takže opět platí \(s = Y\xi\).

Odhad

Tento oddíl popisuje proces odhadu výše uvedených populačních modelů. Některé metody odhadu (LRH, LRV, JS nebo FF) budeme zkracovat, jak je vysvětleno dále.

Podíl parousních Průřezový vzorek stádiové struktury s předpokladem stability poskytuje odhad \(\phi\) (rovnice 8). Jiný způsob pohledu, který se často používá, se může vrátit k . Předpokládejme, že všechny věkové třídy jsou vybrány reprezentativně a přežití je konstantní. Nechť \(f\) je počet cyklů, před kterými komár začne klást vajíčka, takže očekávaný počet nullipar je \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }\) a očekávané počty ve starších, nyní parousních, věkových třídách jsou \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\). Pak podíl nullipar je

$$\frac{{x_{n} }}{{x_{n} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{x_{n} }}{{x_{n} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}} = \left( {1 – \phi } \right)$$
(11)

Tímto způsobem je podíl parousů odhadem míry přežití v průběhu cyklu.

Lze také použít přístup založený na časové řadě . Za předpokladu přítomnosti výběrové chyby v časové řadě odhadů parousů \(X_{p}). \left( 1 \right),X_{p} \left( 2 \right), \ldots\) a nulliparních komárů \(X_{0}). \left( 1 \right),X_{0} \left( 2 \right), \ldots\), pak \(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) lze vyřešit metodou nejmenších čtverců pro odhad \(\phi\).

Regresní přístup (LRV) Vycházíme-li ze vztahu \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\), když je populace stacionární (viz rovnice 1 a 2). 5) a vezmeme logaritmy očekávaných hodnot, \({ \log }\left( {E\left} \right) \aprox E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\). S normálně rozdělenými chybami \({ \log }\left( {x_{i} } \right) \aprox { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right) + \varepsilon\), které lze řešit regresí, a odhadnutý koeficient lze zpětně transformovat pro odhad \(\phi\). Metoda je popsána například v článku .

Parazitologický odhad Stručný argument pro odhad \(\xi\) (a tedy \(p\)) interpretujeme následovně. Vzorek komárů odchycených ve volné přírodě při \(t\) se vyhodnotí na podíl nakažených, čímž se získá ‛immediate sporozoite rate‘. Další vzorek z téže populace je ponechán naživu po dobu trvání EIP (\(n\)) a je rovněž vyhodnocen z hlediska podílu nakažených, nyní při \(t + n\) (‛zpožděná míra sporozoitů‘). Předpokládáme, že nedochází k žádným ztrátám, protože komáři jsou po \(t\) chráněni před přirozenými zdroji úmrtnosti, a podle předpokladu nedochází ke stárnutí. Dále předpokládáme, že všichni infikovaní (ale dosud neinfekční) komáři se stanou infekčními ve vzorku \(t + n\). Komáři nakažení v \(t + n\) se skládají z těch, kteří jsou nakaženi v \(t\), plus všichni nakažení v \(t\) a stanou se nakažlivými v průběhu EIP: \(x_{I} \left( {t + n} \right) = x_{I} \left( t \right) + x_{E} \left( t \right)\). Odhad počtu nakažených, ale neinfekčních při \(t\) je tedy \(\hat{x}_{E} \left( t \right) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \left( t \right)\). Poměr nakažených: nakažených vůbec je pak

$$\frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{x_{I} \left( t \right) + \hat{x}_{E} \left( t \right)}} = \frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{x_{I} \left( {t + n} \right)}}$$
(12)

Tento poměr lze vztáhnout k přežití: jak je uvedeno výše (rovnice 10), poměr (\(s/Y\)) je pravděpodobnost přežití EIP (\(\xi\)), ze které lze zjistit \(p\) nebo \(\phi\). Saul et al. a jeho následovníci upravili tento přístup tak, aby bylo možné odhadnout přežití v průběhu krmného cyklu za ‛přirozených podmínek‘, přičemž použili parametry, které lze lépe odhadnout, zejména podíly nakažených v kousavém úlovku a nakažených v klidovém (nakrmeném) úlovku.

Macdonald uvedl řadu heuristických odhadů předpokládaných na základě údajů o infekci jiných autorů, v podstatě řešením analogie rovnice 10.

Horizontální metody

Mark-recapture

Kohorty komárů označené nějakým způsobem jsou sledovány v čase a analyzují se doby obnovy a případně opětovného vypuštění. Označená populace je pod kontrolou zkoušejícího, včetně časů vstupu nově označených komárů. Komáři mohou být usmrceni při odchytu nebo znovu vypuštěni s novými značkami nebo bez nich. K odhadu parametrů přežití se používá model přežití vypuštěných komárů v čase a pravděpodobnosti jejich opětovného zachycení. Na rozdíl od vertikálních metod se nepředpokládá, že populace dosáhla rovnováhy nebo stabilní věkové struktury.

Většina studií zpětného odchytu komárů pomocí značek (MR) jsou experimenty s jedním vypuštěním. Vypouští se vzorek označených komárů o velikosti \(m_{0}\) a zaznamenávají se počty znovu zachycených komárů v budoucnu. Menší část pokusů MR je prováděna při vícenásobném vypouštění. Při opakovaném odchytu je vypuštěno více komárů. Mohou to být komáři označení dříve nebo nově označení.

Odhad

Jednorázové vypuštění Nechť \(m_{0}\) je počet komárů označených v čase 0 a \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots\) je počet komárů znovu zachycených v pozdějších časech. Nechť \(\pi\) je (konstantní) pravděpodobnost opětovného chycení při jakékoli příležitosti. Očekávaný počet znovu chycených v čase k je (viz, ale s jiným zápisem):

$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$
(13)

Daleko nejběžnějším přístupem k odhadu \(\phi\) je vyjádření rovnice. 13 jako regresní rovnici, z níž lze odhadnout \(\phi\) :

$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \aprox log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$
(14)

s přidáním jednotky k \(m_{k}\), aby se zajistila vypočitatelnost, pokud se objeví nulové počty. Lze použít regresi bez středního členu (viz např. ), což může být uspokojivé, pokud jsou komáři vypouštěni opakovaně nebo pokud je \(\pi\) malé.

Vícenásobné vypouštění Existuje řada metod, které jsou sice často zaměřeny na odhady početnosti, ale mohou také odhadovat přežití. Jsou poměrně složité a pro úplné podrobnosti odkazujeme čtenáře jinam, např. na . Stručně se věnujeme třem, s nimiž jsme se setkali:

(i) Hlavní funkcí Fisherovy-Fordovy metody (FF) je odhad velikosti populace. Nicméně obsahuje přidružený odhad přežití, který využilo několik autorů. Metoda předpokládá přežití nezávislé na čase a používá průměrnou pozorovanou dobu přežití označených jedinců, kteří přežili do opětovného odchytu, a očekávanou průměrnou dobu přežití vypuštěných jedinců danou \(\phi\) . Pro jednodušší případ, kdy jeden odchyt \(k\) zachytí celkem \(m_{k}\) dříve označených komárů (viz další rozšíření na vícenásobný odchyt) a kdy \(r_{j}\) označuje počet těchto jedinců vypuštěných před j dny, je pozorovaná průměrná doba přežití:

$$\frac{{{sum\nolimits_{j} {r_{j} j} }}{{m_{k} }}$$

Podle \(a_{j}\) počet nově vypuštěných komárů \(j\) dnů před časem odběru vzorků \(k\) je očekávaná průměrná doba přežití (vypuštěných komárů, kteří přežijí do času \(k\)):

$$\frac{{{sum\nolimits_{j} {a_{j}} \phi^{j} j} }}{{\sum\nolimits_{j} {a_{j} \phi^{j} } }}$$

Přizpůsobí se odhad \(\phi\), který vyrovnává pozorovanou a očekávanou průměrnou dobu přežití.

(ii) Metoda Jolly-Seber (JS) používá k odhadu (časově závislého) přežití (a dalších parametrů, zejména početnosti) vícenásobné vypouštění a opětovné odchytávání a je běžně používána ekology. Podstatou metody je odhadnout přežití z odhadů velikostí označené populace \(M_{t}\) a \(M_{t + 1}\) v sousedních časech, tj. \(\hat{\phi } = \frac{{M_{t + 1} }}{{{M_{t}}}). Odhady \(M_{t}\) se získají za předpokladu, že budoucí míra zpětného odchytu již označených zvířat, která nebyla odchycena v čase \(t\), je stejná jako budoucí míra zpětného odchytu označených zvířat vypuštěných v čase \(t\). Podle základního modelu se míra přežití může měnit v čase, ale lze jej upravit tak, aby umožňoval omezení (např. přežití nezávislé na čase), což může zlepšit přesnost odhadů. Ve studiích komárů se metoda JS obvykle používá v plném rozsahu, ačkoli model obsahuje složku (model „Cormack-Jolly-Seber“), která je pro odhad přežití dostačující.

(iii) Saul vyvinul vlastní odhady, které zahrnují algebraická řešení rovnic MR. Metoda předpokládá časově nezávislé přežití.

Další metody odhadu

Další metody byly neobvyklé a my se o nich pouze zmiňujeme. Patřila mezi ně rychlost úbytku populace za podmínek nulového náboru ; metoda ‛Manly-Parr‘ , kterou použil (ačkoli pro tuto metodu nebyl uveden žádný odhad přežití); a neformální přístupy (např. grafické přizpůsobení křivky přežití ).

Vyhledávání a metaanalýza

S cílem zachytit odhady přežití autoři vypracovali systematickou strategii vyhledávání a provedli ji v následujících databázích: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) a Scopus. Rešerše byly provedeny v listopadu 2017 bez omezení data a jazyka. Rozsah vyhledávání naznačil, že Web of Science poskytne nejrelevantnější výsledky, proto byla použita širší strategie než u ostatních. Strategie vyhledávání ve Web of Science: (Mosquito* nebo anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* nebo „life cycle*“)TS. Strategie vyhledávání v databázích Environment Complete, Global Health, Scopus a PubMED: (Mosquito* nebo anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or „life cycle*)TI.

Vyloučeny pak byly nepublikované nebo neanglicky psané studie, intervence, které by mohly ovlivnit přežití, např. insekticidy; studie bez přirozených zdrojů úmrtnosti (laboratorní studie), s výjimkou studií používajících metodu ‛immediate: delayed sporozoite rate‘ (viz výše), která předpokládá pouze absenci úmrtnosti v budoucích časových bodech, mimo časový bod odhadu; studie reanalyzující údaje pomocí modelu závislého na věku; metodické/simulační studie; přehledové práce nebo jiné duplicitní odhady; a studie neposkytující odhady. Pokud byl poskytnut pouze podíl parousí, považovali jsme jej za odhad pravděpodobnosti přežití cyklu.

Plánovaně jsme prováděli metaanalýzy se studiemi váženými pomocí inverzního vážení. Většina vertikálních studií a mark-recapture s jedním vypuštěním však neposkytla odhady rozptylu nebo související metriky (intervaly spolehlivosti atd.). Proto jsme provedli nevážené metaanalýzy. Denní míry přežití byly před metaanalýzou transformovány na log(odds) a poté zpětně transformovány pro prezentaci. Analýza byla provedena v programu R 3.5 pomocí balíčku metafor.

.