Obsah

Bernoulliho pokusy

Modul Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti se zabývá představou posloupnosti nezávislých pokusů, kde každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu \(p\). Tato struktura vede k řadě náhodných veličin s různými rozděleními. V tomto modulu se struktura pokusů používá k zavedení geometrického rozdělení. Vzhledem k obecnému významu struktury pokusů ji v tomto modulu zkoumáme systematicky.

Ústřední myšlenkou je Bernoulliho pokus – pojmenovaný po Jacobu Bernoullim (1655-1705), který patřil do rodiny významných matematiků. Bernoulliho pokus je náhodný postup, který může mít jeden ze dvou výsledků, které jsou libovolně označeny jako „úspěch“ a „neúspěch“.

Bernoulliho pokus má odpovídající Bernoulliho náhodnou veličinu, která počítá počet úspěchů v jednom pokusu. Jediné možné hodnoty této náhodné veličiny jsou nula a jedna; náhodná veličina nabývá hodnoty jedna, pokud dojde k úspěchu, a hodnoty nula, pokud dojde k neúspěchu.

Nechť \(X\) je Bernoulliho náhodná veličina s parametrem \(p\), kde \(0 < p < 1\). Pravděpodobnostní funkce \(p_X(x)\) \(X\) je dána vztahem\Střední hodnota této náhodné veličiny je\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\ &= \bigl(0 \times (1-p)\bigr) + \bigl(1 \times p\bigr)\\ &= p.\end{align*}Rozptyl \(X\) je roven \(p(1-p)\), což je výsledek získaný následujícím způsobem:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\ &= p(1-p).\end{align*}

Bernoulliho náhodné veličiny vznikají způsobem, který se vyskytuje skutečně velmi často. Předpokládejme, že nás zajímá populace „jednotek“, v níž je podíl jednotek s určitou charakteristikou \(p\). Zde může být „jednotkou“ člověk, zvíře, rostlina, škola, podnik nebo mnoho dalších entit podle zkoumané populace. Vezmeme náhodný vzorek jednotek z populace a sledujeme, zda každá jednotka má nebo nemá tuto charakteristiku, která nás zajímá.

Je-li populace nekonečná nebo tak velká, že ji můžeme považovat za fakticky nekonečnou, pak je výběr vzorku bez nahrazení stejný jako výběr vzorku s nahrazením, a je-li každá jednotka vybrána nezávisle na všech ostatních, je pravděpodobnost, že každá jednotlivá vybraná jednotka má danou charakteristiku, rovna \(p\).Pokud definujeme „úspěch“ jako „mít charakteristiku, která nás zajímá“, pak lze každé pozorování považovat za Bernoulliho pokus, nezávislý na ostatních pozorováních, s pravděpodobností úspěchu rovnou \(p\). Zde je několik příkladů:

  • Provádí se politický průzkum mezi voliči. Každý dotazovaný volič je dotázán, zda v současné době schvaluje či neschvaluje předsedu vlády.
  • Je získán náhodný vzorek škol. U škol se posuzuje, zda dodržují vhodnou politiku týkající se vystavování žáků slunečnímu záření.
  • Je proveden rozhovor s náhodným vzorkem policejních pracovníků. U každého z nich se posuzuje, zda projevuje přiměřené povědomí o různých kulturách.
  • U náhodně vybraného vzorku řidičů se provede test na přítomnost drog a zaznamená se, zda je či není pozitivní na nedávné užití metamfetaminu.
  • Vybírá se náhodný vzorek fotbalistů a hodnotí se jejich záznamy o zraněních podle toho, zda měli či neměli více než tři epizody otřesu mozku.

Zvážení těchto příkladů naznačuje, že nás zajímá počet úspěchů obecně, a ne pouze zkoumání jednotlivých odpovědí. Máme-li \(n\) pokusů, chceme vědět, kolik z nich je úspěšných.

Další strana – Obsah – Binomické náhodné veličiny

 Tuto publikaci financuje
Australská vláda, Ministerstvo školství,
Zaměstnanost a vztahy na pracovišti		 Přispěvatelé
Termín použití

.