AntiderivátEdit

Podle základní věty kalkulu je integrál antiderivátem.

Pokud vezmeme funkci 2 x {\displaystyle 2x}.

{\displaystyle 2x}

, například a antidiferencujeme ji, můžeme říci, že integrál 2 x {\displaystyle 2x}.

{\displaystyle 2x}

je x 2 {\displaystyle x^{2}}.

{\displaystyle x^{2}}

. Říkáme integrál, nikoliv integrál, protože antiderivát funkce není jedinečný. Například x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}.

{\displaystyle x^{2}+17}

také diferencuje na 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. Z tohoto důvodu je třeba při odvození antiderivátu přičíst konstantu C. Tomu se říká neurčitý integrál. Je to proto, že při hledání derivace funkce se konstanty rovnají 0, jako ve funkci f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Všimněte si 0: nemůžeme ji najít, pokud máme pouze derivaci, takže integrál je ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}.

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Jednoduché rovniceEdit

Jednoduchá rovnice, například y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}.

{\displaystyle y=x^{2}}

, lze integrovat vzhledem k x pomocí následující techniky. Integrujete tak, že k mocnině, na kterou je x zvýšeno, přičtete 1 a pak x vydělíte hodnotou této nové mocniny. Integrace normální rovnice se tedy řídí tímto pravidlem: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

D x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

na konci je to, co ukazuje, že integrujeme vzhledem k x, tedy při změně x. Z toho je patrné, že se jedná o inverzní diferenciaci. Při integrování se však přidává konstanta C. Ta se nazývá integrační konstanta. Je to nutné, protože výsledkem diferencování celého čísla je nula, a proto při integrování nuly (kterou lze dosadit na konec libovolného integrálu) vznikne celé číslo C. Hodnotu tohoto celého čísla bychom zjistili pomocí daných podmínek.

Rovnice s více než jedním členem se jednoduše integrují integrováním každého jednotlivého členu:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integrace pomocí e a lnEdit

Existují určitá pravidla pro integraci pomocí e a přirozeného logaritmu. Především platí, že e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}

je integrál sebe sama (s přidáním integrační konstanty): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Přirozený logaritmus, ln, je užitečný při integrování rovnic s 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

. Ty nelze integrovat podle výše uvedeného vzorce (přičíst jedničku k mocnině, dělit mocninou), protože přičtením jedničky k mocnině vznikne 0 a dělení 0 není možné. Místo toho se použije integrál 1 / x {\displaystyle 1/x}.

{\displaystyle 1/x}

je ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}

{\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}