e

e

Definice e

Exponenciála má speciální základ, který hraje v matematice obzvlášť důležitou roli. Jedním ze způsobů definice e je vzorec pro složené úročení

A = P(1 + r/n)nt

kde A odpovídá částce na účtu po t letech v bance, která dává roční úrokovou míru r složenounkrát za rok. Například pokud n = 4, říkáme, že účet je složen čtvrtletně, a pokud n = 365, pak je účet složen denně. Čím častěji je účet složen, tím rychleji roste úrok.

Pokud necháme

r = 1 P =1 t = 1 a x = 1/n

tento vzorec pro složené úročení dává

f(x) = (1 + x)1/x

Můžeme interpretovat xjako zlomek roku, za který se úrok složí. Je-li tento zlomek roven 0, pak můžeme sestavit následující tabulku:

Tato funkce zřejmě konverguje k číslu, které nazýváme e.

Kontinuální úrok

Pro kontinuálně složený úrok máme vzorec:

A = Pert

Inflace Příklad
Při 8% míře inflace ve zdravotnictví, kolik bude stát zdravotní pojištění za 45 let, pokud v současné době platím 200 USD měsíčně?

Řešení
Máme
r =,08 P =200 a t = 45
Takže

A = 200e(,08)(45) = 7319 USD měsíčně!

Modely růstu populace

Jeden z nejjednodušších modelů růstu populace vychází z předpokladu, že tempo růstu je úměrné aktuálnímu počtu obyvatel. Později ukážeme, že za tohoto předpokladu je populace Pat čas t dána vztahem

P = C0 ekt

Kde C0 je počáteční populacea k je konstanta úměrnosti.

Příklad

V roce 1960 bylo do USA dovezeno dvě stě rostlin z Evropy pro krajinotvorbu. Předpokládáme-li exponenciální růst s růstovou konstantou 0,1,kolik rostlin bude v USA v roce 2050?

Řešení

Nechť t = 0 odpovídá roku1960. Pak C0 = 200. Model exponenciálního růstu dává

P = 200 e0,1t

Dalšímu roku 2050 odpovídá t = 90. Jaké jsou hodnoty? Takže

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1 620 616

Těchto zahraničních závodů bude v roce2050 1 620 616 kusů. Graf je uveden níže.

Exponenciální model má závažnou chybu. Předpokládá, žepopulace bude nadále růst bez ohledu na prostor a živiny. Realističtější model bude počítat s tím, že existuje nosná kapacita,tj. populace, kterou nelze překročit. Tento model se nazývá logistickásekvence a je dán vztahem

kde a, b a ka jsou kladné konstanty.

Příklad

lidskou populaci (v miliardách lidí) na Zemi lze modelovat pomocí křivky logistického růstu

kde t je rok od roku 1970. Jaký bude počet obyvatel v roce2010? Jaká je únosnost lidské populace na Zemi?

Řešení

Pro určení počtu obyvatel v roce 2010 vidíme, že rok 2010 odpovídá t = 40. Jaký bude počet obyvatel v roce 2010? Toto t dosadíme a pomocí kalkulačky dostaneme

V roce 2010 bude na Zemi přibližně 8,8 miliardy lidí.

Chceme-li zjistit únosnou kapacitu, najdeme hranici počtu obyvatel, když se čas blíží nekonečnu. Z rovnice vidíme, že exponenciální člen klesá k nule, protože exponent je záporný. Proto je únosnost L