AntiderivativRedigera

Enligt kalkylens fundamentala sats är integralen antiderivativ.

Om vi tar funktionen 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

, till exempel, och antidifferentierar den, kan vi säga att en integral av 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

är x 2 {\displaystyle x^{2}}

{\displaystyle x^{2}}}

. Vi säger en integral, inte integralen, eftersom antiderivatan av en funktion inte är unik. Till exempel, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

{\displaystyle x^{2}+17}

differentierar också till 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. På grund av detta måste en konstant C läggas till när man tar antiderivatan. Detta kallas för en obestämd integral. Detta beror på att när man hittar derivatan av en funktion är konstanterna lika med 0, som i funktionen f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Notera 0: vi kan inte hitta den om vi bara har derivatan, så integralen är ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Enkla ekvationerRedigera

En enkel ekvation, till exempel y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}}

{\displaystyle y=x^{2}}}

, kan integreras med avseende på x med hjälp av följande teknik. För att integrera adderar du 1 till den potens x höjs till och dividerar sedan x med värdet av denna nya potens. Därför följer integrationen av en normalekvation denna regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\\,}x^{n}dx={\frac {x^{{n+1}}}{n+1}}}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}+C}

Den d x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

i slutet är det som visar att vi integrerar med avseende på x, det vill säga när x förändras. Detta kan ses som motsatsen till differentiering. Det finns dock en konstant, C, som läggs till när man integrerar. Denna kallas för integrationskonstanten. Detta krävs eftersom differentiering av ett heltal resulterar i noll, och därför ger integrering av noll (som kan sättas på slutet av varje integrand) ett heltal, C. Värdet av detta heltal kan hittas genom att använda givna villkor.

Ekvationer med fler än en term integreras helt enkelt genom att integrera varje enskild term:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\\,}^{\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}}-2x+C}

Integrering med e och lnEdit

Det finns vissa regler för att integrera med e och den naturliga logaritmen. Det viktigaste är att e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}

är integralen av sig själv (med tillägg av en integrationskonstant): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{x}dx=e^{x}+C}

Den naturliga logaritmen, ln, är användbar när man integrerar ekvationer med 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

. Dessa kan inte integreras med hjälp av formeln ovan (addera ett till potensen, dividera med potensen), eftersom addering av ett till potensen ger 0, och en division med 0 är inte möjlig. Istället används integralen av 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

är ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}

{\displaystyle \textstyle \int _{\\,}^{\\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}