Innehåll

Bernoulliförsök

Modulen Diskreta sannolikhetsfördelningar diskuterar idén om en sekvens av oberoende försök, där varje försök har samma sannolikhet att lyckas \(p\). Denna struktur leder till ett antal slumpvariabler med olika fördelningar. I den modulen används försöksstrukturen för att introducera den geometriska fördelningen. På grund av försöksstrukturens allmänna betydelse undersöker vi den systematiskt i denna modul.

Den centrala idén är en Bernoulliförsök – uppkallad efter Jacob Bernoulli (1655-1705), som tillhörde en familj av framstående matematiker. Ett Bernoulliförsök är ett slumpmässigt förfarande som kan ha ett av två utfall, som godtyckligt betecknas som ”framgång” och ”misslyckande”.

En Bernoulli-process har en motsvarande Bernoulli slumpvariabel, som räknar antalet framgångar i en enskild process. De enda möjliga värdena för denna slumpvariabel är noll och ett; slumpvariabeln antar värdet ett om en framgång inträffar och värdet noll om ett misslyckande inträffar.

Låt \(X\) vara en Bernoulli slumpvariabel med parametern \(p\), där \(0 < p < 1\). Sannolikhetsfunktionen \(p_X(x)\) för \(X\) ges av\Medelvärdet för denna slumpvariabel är\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\ &= \bigl(0 \times (1-p)\bigr) + \bigl(1 \times p\bigr)\\ &= p.\end{align*}Variansen för \(X\) är lika med \(p(1-p)\), ett resultat som erhålls på följande sätt:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\ &= p(1-p).\end{align*}

Bernoulli slumpvariabler uppstår på ett sätt som förekommer mycket ofta. Anta att vi är intresserade av en population av ”enheter”, där andelen enheter med en viss egenskap är \(p\). Här kan en ”enhet” vara en person, ett djur, en växt, en skola, ett företag eller många andra enheter, beroende på vilken population som studeras. Vi tar ett slumpmässigt urval av enheter från populationen och observerar om varje enhet har den aktuella egenskapen eller inte.

Om populationen är oändlig, eller så stor att vi kan betrakta den som oändlig i praktiken, är provtagning utan ersättning samma sak som provtagning med ersättning, och om varje enhet provtas oberoende av alla andra är sannolikheten för att en enskild enhet i urvalet har egenskapen lika med \(p\).Om vi definierar ”framgång” som ”att ha den intressanta egenskapen” kan varje observation betraktas som ett Bernoulli-försök, oberoende av de andra observationerna, med en sannolikhet för framgång som är lika med \(p\).Vikten av denna insikt är att den är så allmänt tillämpbar. Här är några exempel:

  • En politisk undersökning av väljare genomförs. Varje tillfrågad väljare tillfrågas om de för närvarande godkänner premiärministern eller inte.
  • Ett slumpmässigt urval av skolor erhålls. Skolorna bedöms utifrån om de följer en lämplig policy för elevernas solexponering.
  • Ett slumpmässigt urval av polispersonal intervjuas. Varje person bedöms huruvida de visar lämplig medvetenhet om olika kulturer.
  • Ett slumpmässigt urval av förare drogtestas, och det registreras huruvida de är positiva för nyligen använt metamfetamin eller inte.
  • Ett slumpmässigt urval av fotbollsspelare väljs ut och deras skadehistorik bedöms, beroende på om de har haft mer än tre episoder av hjärnskakning.

Om man beaktar dessa exempel kan man konstatera att vi är intresserade av antalet framgångar generellt sett, och inte bara av granskningen av enskilda svar. Om vi har \(n\) försök vill vi veta hur många av dem som är framgångsrika.

Nästa sida – Innehåll – Binomiala slumpvariabler

 Denna publikation är finansierad av
Australian Government Department of Education,
Employment and Workplace Relations		 Bidragsgivare
Användningsvillkor