Vertikala metoder

Matrispopulationsmodeller

Vi utgår från en diskret tidsmodell där tidsstegen representerar en cykel för matning och äggläggning av myggor, där överlevnadssannolikheten är (\(\phi\)). I litteraturen relateras detta till sannolikheten för daglig överlevnad (\(p\)) genom

$$p^{d} = \phi$$$
(1)

där \(d\) är cykelns längd i dagar.

Åldersstrukturerad matris Vi beskriver först dynamiken i populationen av vuxna myggor i form av en allmän åldersstrukturerad matris:

$$$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$
(2)

där \(f_{i}\) är fruktsamheten per capita och \(\phi_{i}\) är överlevnadssannolikheten (per cykel) för en åldersklass i. Detta är den korrekta formen för myggor under det vanligt förekommande antagandet om ingen senescens (åldersoberoende överlevnad).

Under vissa förhållanden där det finns en äldsta åldersklass \(m\) som inte överlever (\(\phi_{m} = 0\); ‛Leslie-matris’) eller när den äldsta åldersklassen representerar alla djur i denna ålder och äldre med samma överlevnadssannolikhet (se ; ‛Usher-matris’) är den oändliga matrisen i (Eqn. 2) kan behandlas som ändlig enligt följande:

I båda fallen gäller vissa resultat från teorin om stabila populationer med endast svaga antaganden , framför allt att den långsiktiga populationsstrukturen uppnås oberoende av de initiala förhållandena (den är ‛ergodisk’ ). Antalet individer i åldersklass i vid denna stabila åldersstruktur ges av:

$$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \prod\limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} }$$$
(4)

där \(\lambda\) är befolkningstillväxten.

Konventionella myggmodeller förutsätter vanligen lika (åldersoberoende) överlevnadssannolikheter (till exempel \(\phi\)) för åldersklasserna \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\), och en åldersoberoende fertilitet \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\). Ett annat vanligt antagande är att myggornas åldersklasser har samma varaktighet (troligen äggläggningen eller den gonotrofa cykelns längd). Vid den stabila åldersfördelningen minskar antalet i åldersklass i till :

$$$x_{i} = x_{0} \left( {\frac{\phi }{\lambda }} \right)^{i}$$$$
(5)

Så om dessutom populationen är stationär (\(\(\lambda = 1)\) så ges förhållandet mellan intilliggande åldersklasser av:

$$\frac{{x_{i} }}{{{x_{i – 1}} }}} = \phi$$$
(6)

Många myggstudier har använt sig av detta resultat, åtminstone implicit.

Stegstrukturerad matris En alternativ formulering är en stegstrukturerad modell , där individerna klassificeras efter ett livsstadium eller en storlek, i stället för en ålder. Till skillnad från en Leslie-modell tillåter stadieindelade modeller ‛self-loops’ där ett tillstånd ‛övergång’ kan leda till sig själv. Fysiologiska åldersmarkörer som kan användas i mygglitteraturen beskrivs av Silver . Den vanligaste markören för ålder som har använts är honmyggans äggläggningstillstånd, helt enkelt (och oftast) om myggan tidigare har lagt ägg (är parös) eller inte har lagt ägg (är nulliparös). För en nulliparös/parös modell:

$$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$
(7)

För en population i jämvikt har vi \(\frac{{{x_{p}} }}{{x_{0}} }} = \frac{\phi }{1 – \phi }\) (jfr. Eqn. 6) eller

$$$\phi = \frac{{{x_{p}} }}{{{x_{0} + x_{p}} }}$$$
(8)

En stegstrukturerad modell kanske inte har egenskapen ‛ergodisk’, dvs. dess långsiktiga tillstånd kan bero på de initiala förhållandena.

Matris för sjukdomstillstånd Efter den initiala infektionen utvecklas malariaparasiten under perioden ‛extrinsic incubation period’ (EIP) för att få myggvärden att bli infekterad med sporozoiter. Myggans infektionsförmåga kan ses som en grov åldersmarkör eller uttryckligen karaktäriseras av dess sjukdomsbärande tillstånd. I det senare fallet, och för att visa sambandet med andra tillvägagångssätt ovan, skriver vi processen i en tidsdiskret matrisform (jämför med tidigare ekv. 2 och 7 där myggorna kategoriserades efter ålder eller paritet):

$$$\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$
(9)

där \(S\),\(E\),\(I\) betecknar mottagliga, exponerade (smittade men inte smittsamma) och smittsamma myggor; \(\omega\) är sannolikheten för infektion (mottaglig mygga övergår till infekterad), \(\gamma\) är sannolikheten för att en infekterad mygga övergår till ett smittsamt tillstånd, \(\xi\) är sannolikheten för att en mygga skall överleva EIP, vilken antas vara densamma för alla klasser, och \(n\) är EIP i dagar.

Notera att \(\xi\) kan skrivas i termer av daglig överlevnad som \(p^{n}\).

Vi understryker att Eqn. 9 är starkt förenklad: infektionssannolikheten \(\omega\) är en funktion av andra parametrar, särskilt antalet infektiösa värdar, såsom människor. Ekvationen är helt klart en del av ett bredare sjukdomssystem som även omfattar dynamiken hos värddjur hos ryggradsdjur. En mycket fullständigare form av detta diskreta tidssystem har studerats.

Vi kan undersöka systemet när det antas vara i jämvikt så \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}}$}}{x} \left( {t + n} \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}}{x}^{ *}\), till exempel. Om övergången från infekterad till smittsam är säker (\(\gamma = 1\)) så ger den tredje raden i Eqn. 9 att \(\xi \left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right) = x_{I}^{ *}\}\) så:

$$$\xi = \frac{{x_{I}^{ *}} }}}{{{\left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}$$$$
(10)

Den högra sidan kan skrivas på ett likvärdigt sätt och i en mer bekant form som \(s/Y\). Här är \(s\) andelen infektiösa (andelen myggor som innehåller sporozoiter i spottkörtlarna) och \(Y\) är andelen infekterade myggor.

Det är mycket vanligare i litteraturen att använda dynamiska ekvationer i kontinuerlig tidsform för att beskriva sjukdomstillståndssystemet, snarare än i diskret tidsform. Genom att använda den förstnämnda formen ger olika författare uttryck för sporozoithastigheten \(s\) som skrivs som :

$$$\frac{acX}{g + acX}{ \exp }\left( { – gn} \right)$$

där \(a\) är bettfrekvensen, \(g\) är den kontinuerliga dödligheten, \(c\\) är sannolikheten för att en osmittad mygga blir smittad efter att ha bitit en smittad människa och \(X\) är andelen smittade människor. Den vänstra termen är andelen infekterade myggor (\(Y\)) och den högra termen är sannolikheten att överleva EIP (\(\xi\)), så att det återigen blir \(s = Y\xi\).

Skattning

Detta avsnitt utvecklar skattningsprocessen för befolkningsmodellerna ovan. Vi kommer att förkorta några av skattningsmetoderna (LRH, LRV, JS eller FF) som förklaras vidare nedan.

Andel parösa Ett tvärsnittsurval av stadiestrukturen med ett antagande om stabilitet ger en skattning av \(\phi\) (Eqn. 8). Ett annat sätt att se på detta som ofta används kan gå tillbaka till . Antag att alla åldersklasser provtas på ett representativt sätt och att överlevnaden är konstant. Låt \(f\) vara antalet cykler innan myggan börjar lägga ägg, så att det förväntade antalet nulliparösa är \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }\) och det förväntade antalet i äldre, nu parösa, åldersklasser är \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\). Då är andelen nulliparösa

$$$\frac{{x_{n}} }}{{{x_{n}} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{x_{n}} }}{{x_{n}} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}} = \left( {1 – \phi } \right)$$
(11)

Parous-proportionen är på detta sätt en uppskattning av överlevnadsfrekvensen under en cykel.

Det är också möjligt att använda sig av en tidsserieuppläggning. Om man antar att det finns provtagningsfel i tidsserier av skattningar av parous \(X_{p} \left( 1 \right),X_{p} \left( 2 \right), \ldots\) och nulliparösa myggor \(X_{0} \left( 1 \right),X_{0} \left( 2 \right), \ldots\), då \(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) kan lösas med minsta kvadratmetoden för att få en uppskattning av \(\phi\).

Regressionsmetod (LRV) Med utgångspunkt i relationen \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\) när populationen är stationär (se Eqn. 5) och tar logaritmer av de förväntade värdena, \({ \log }\left( {E\left} \right) \approx E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\). Med normalfördelade fel \({ \log }\left( {x_{i} } \right) \approx { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right) + \varepsilon\) som kan lösas genom regression, och den uppskattade koefficienten kan bakåttransformeras för att få en uppskattning av \(\phi\). Metoden beskrivs till exempel i .

Parasitologisk skattning Vi omtolkar ett kortfattat argument för att skatta \(\xi\) (och därmed \(p\)) på följande sätt. Ett prov av vildfångade myggor vid \(t\) bedöms med avseende på andelen infektiösa, för att få fram ‛mediate sporozoite rate’. Ett annat prov från samma population hålls vid liv under EIP (\(n\)) och bedöms också med avseende på andelen infektiösa, nu vid \(t + n\) (‛fördröjd sporozoitfrekvens’). Vi antar att det inte förekommer några förluster, eftersom myggorna är skyddade från naturliga källor till dödlighet efter \(t\), och vi antar att det inte förekommer någon senescens. Vi antar vidare att alla infekterade (men ännu inte smittsamma) myggor övergår till att bli smittsamma vid stickprovet \(t + n\). De myggor som är smittsamma vid \(t + n\) består av de myggor som är smittsamma vid \(t\), plus alla myggor som är smittade vid \(t\) och som blir smittsamma under EIP: \(x_{I} \left( {t + n} \right) = x_{I} \left( t \right) + x_{E} \left( t \right)\). En uppskattning av antalet smittade men inte smittsamma vid \(t\) är alltså \(\hat{x}_{E} \left( t \right) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \left( t \right)\). Förhållandet mellan smittbärare och smittade är då

$$$\frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{{x_{I} \left( t \right) + \hat{x}_{E} \left( t \right)}}} = \frac{{x_{I}} \left( t \right)}}{{{x_{I}} \left( {t + n} \right)}}}$$$
(12)

Detta förhållande kan relateras till överlevnad: som visats ovan (Eqn. 10) är förhållandet (\(s/Y\)) sannolikheten för att överleva EIP (\(\xi\)), varifrån \(p\) eller \(\phi\) kan hittas. Saul et al. och hans efterföljare har modifierat detta tillvägagångssätt för att uppskatta överlevnaden under en matningscykel under ‛naturliga‛förhållanden‛, genom att använda parametrar som det är mer praktiskt möjligt att uppskatta, särskilt andelen infekterade i en bitande fångst och andelen infekterade i en vilande (matad) fångst.

Macdonald presenterade ett antal heuristiska uppskattningar som man antar utifrån andra författares infektionsdata, i huvudsak genom att lösa en analog till Eqn. 10.

Horisontella metoder

Mark-recapture

Kohorter av myggor som är märkta på något sätt följs upp över tid och tidpunkterna för återhämtning, och eventuellt återutsättning, analyseras. Den märkta populationen står under utredarens kontroll, även när nymärkta myggor kommer in i populationen. Myggorna kan dödas när de fångas eller återutsättas, med eller utan nya märken. För att uppskatta överlevnadsparametrarna används en modell för överlevnad av utsatta myggor över tiden och deras sannolikhet att återfångas. Till skillnad från vertikala metoder görs inga antaganden om att populationen har uppnått jämvikt eller en stabil åldersstruktur.

De flesta studier av mark-recapture (MR) av myggor är experiment med en enda utsättning. Ett urval \(m_{0}\) av märkta myggor släpps ut och det antal myggor som återfångas vid framtida tillfällen registreras. En minoritet av MR-försöken är flerfaldiga. Vid ett återfångsttillfälle släpps fler myggor ut. Dessa kan vara myggor som märkts tidigare eller nyligen märkta.

Skattning

Enstaka utsättning Låt \(m_{0}\) vara antalet myggor som märkts vid tidpunkt 0 och \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots\) vara antalet av de som återfångats vid senare tidpunkter. Låt \(\pi\\) vara den (konstanta) sannolikheten för återfångst vid varje tillfälle. Det förväntade antalet återfångade vid tidpunkt k är (se men med en annan notation):

$$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$$$
(13)

Det överlägset vanligaste tillvägagångssättet för att uppskatta \(\phi\) är att uttrycka Eqn. 13 som en regressionsekvation från vilken \(\phi\) kan uppskattas :

$$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \approx log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$$
(14)

med en enhet som läggs till \(m_{k}\) för att säkerställa att det går att beräkna om nolltal uppstår. En regression utan den mellersta termen kan användas (se t.ex. ), vilket kan vara tillfredsställande om myggor återutsätts eller om \(\pi\) är liten.

Flera utsättningar Det finns ett antal metoder som, även om de ofta är inriktade på uppskattningar av abundans, också kan uppskatta överlevnaden. Dessa metoder är relativt komplexa och vi hänvisar läsarna till andra ställen för fullständig information, t.ex. Vi tar kortfattat upp de tre vi stött på:

(i) Fisher-Ford-metodens (FF) primära funktion är att uppskatta populationsstorleken. Den innehåller dock en tillhörande uppskattning av överlevnad som har utnyttjats av ett fåtal författare. Metoden utgår från tidsoberoende överlevnad och använder den genomsnittliga observerade överlevnadstiden för märkta individer som överlever till återfångst och den förväntade genomsnittliga överlevnadstiden för dem som släpps ut givet \(\phi\) . För det enklare fallet med en enda återfångsttid \(k\) som totalt fångar \(m_{k}\) tidigare märkta myggor (se för ytterligare utvidgning till flera återfångster), och med \(r_{j}\) som betecknar antalet av dessa som släppts ut j dagar tidigare, är den observerade genomsnittliga överlevnadstiden:

$$$\frac{{{\sum\nolimits_{j} {r_{j} j}} }}{{{m_{k}} }}$$

Om man med \(a_{j}\) betecknar antalet nyligen släppta \(j\) dagar före provtagningstidpunkten \(k\), är den förväntade genomsnittliga överlevnadstiden (för de myggor som släppts ut och som överlevt fram till tidpunkten \(k\)):

$$\frac{{{{{{\sum\nolimits_{j} {a_{j}} \phi^{j} j} }}{{{{sum\\nolimits_{j} {a_{j} \phi^{j} } }}$$$

En skattning av \(\phi\) anpassas så att den observerade och förväntade genomsnittliga överlevnadstiden blir likvärdig.

(ii) Jolly-Seber-metoden (JS) använder flera utsättningar och återfångster för att uppskatta (tidsberoende) överlevnad (och andra parametrar, särskilt abundans) och används ofta av ekologer . Metoden går ut på att uppskatta överlevnaden utifrån uppskattningar av de markerade populationsstorlekarna \(M_{t}\) och \(M_{t + 1}\) vid intilliggande tidpunkter, dvs. \(\(\hat{\phi } = \frac{{M_{t + 1} }}{{M_{t} }}}\). Uppskattningar av \(M_{t}\) erhålls genom att anta att den framtida återfångstfrekvensen för redan märkta djur som inte fångats vid tidpunkten \(t\) är densamma som den framtida återfångstfrekvensen för de märkta djur som släppts vid tidpunkten \(t\). Enligt grundmodellen kan överlevnaden variera med tiden, men den kan ändras för att tillåta begränsningar (t.ex. tidsoberoende överlevnad), vilket kan förbättra precisionen i uppskattningarna. I studier av myggor tillämpas JS-metoden vanligtvis fullt ut, även om modellen innehåller en komponent (Cormack-Jolly-Seber-modellen) som är tillräcklig för att uppskatta överlevnaden.

(iii) Saul har utvecklat sina egna uppskattningar som innebär algebraiska lösningar på MR-ekvationer. Metoden förutsätter tidsoberoende överlevnad.

Andra skattningsmetoder

Andra metoder var ovanliga och vi gör inte mer än att nämna dem. Dessa omfattade graden av populationsnedgång under förhållanden med nollrekrytering ; ‛Manly-Parr’-metoden , tillämpad av (även om ingen överlevnadsskattning gavs för denna metod); och informella tillvägagångssätt (t.ex. anpassning av en överlevnadskurva grafiskt ).

Sökning och metaanalys

För att fånga upp skattningar av överlevnaden utvecklade författarna en systematisk sökstrategi och körde den i följande databaser: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) och Scopus. Sökningarna genomfördes i november 2017 utan begränsningar i fråga om datum eller språk. Scoping indikerade att Web of Science skulle ge de mest relevanta resultaten så därför användes en bredare strategi än de andra. Sökstrategi för Web of Science: (Mosquito* eller anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or ”life cycle*”)TS. Sökstrategi för Environment Complete, Global Health, Scopus och PubMED: (Mosquito* or anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or ”life cycle*”)TI.

Observerade studier som inte är publicerade eller inte är engelskspråkiga, interventioner som kan påverka överlevnaden, t.ex. insekticider, studier utan naturliga dödlighetskällor (laboratoriestudier) med undantag för studier som använder ‛immediate: delayed sporozoite rate’ (se ovan), som endast förutsätter att det inte finns någon dödlighet vid framtida tidpunkter, bortom den tidpunkt som skattningen avser, studier som omanalyserar data med en åldersberoende modell, metodologiska studier/simuleringsstudier, översiktsartiklar eller andra dubbla skattningar och studier som inte ger några skattningar. När endast en parous andel tillhandahölls behandlade vi detta som en skattning av sannolikheten för cykelöverlevnad.

Vi planerade att genomföra metaanalyser med studier som viktades med omvänd variansviktning. De flesta vertikala studier och markåterfångststudier med enstaka utsättning gav dock inga variansskattningar eller relaterade mått (konfidensintervall etc.). Vi utförde därför oviktade metaanalyser. De dagliga överlevnadssiffrorna transformerades till log(odds) före metaanalysen och återtransformerades sedan vid presentationen. Analysen utfördes i R 3.5 med paketet metafor.