e

e

Definition av e

Det finns en speciell bas för en exponential som spelar en särskilt viktig roll i matematiken. Ett sätt att definiera e är med formeln för sammansatt ränta

A = P(1 + r/n)nt

där A motsvarar beloppet på kontot efter t år i en bank som ger en årlig ränta r sammansattn gånger per år. Om t.ex. n = 4 säger vi att kontot räntesäkras kvartalsvis och om n = 365 räntesäkras kontot dagligen. Ju oftare kontot räntesäkras, desto snabbare växer räntan.

Om vi låter

r = 1 P =1 t = 1 och x = 1/n

ger formeln för sammansatt ränta

f(x) = (1 + x)1/x

Vi kan tolka x som bråkdelen av ett år som räntan räknas upp. Om detta bråk blir 0 kan vi konstruera följande tabell:

Denna funktion verkar konvergera mot ett tal, som vi kallar e.

Kontinuerlig ränta

För kontinuerligt sammansatt ränta har vi formeln:

A = Pert

Inflationsexempel
Med en inflationstakt på 8 % inom hälsovårdsbranschen, hur mycket kommer sjukförsäkringen att kosta om 45 år om jag för närvarande betalar 200 dollar i månaden?

Lösning
Vi har
r = 0,08 P = 200 och t = 45
Så att

A = 200e(.08)(45) = 7319 dollar per månad!

Modeller för befolkningstillväxt

En av de enklaste modellerna för befolkningstillväxt uppstår genom antagandet att tillväxttakten är proportionell mot den aktuella befolkningen. Senare kommer vi att visa att under detta antagande ges befolkningen Pat tid t av

P = C0 ekt

Varvid C0 är den ursprungliga befolkningen och k är en proportionalitetskonstant.

Exempel

In 1960 fördes tvåhundra växter från Europa till USA för landskapsarkitektur. Om man antar en exponentiell tillväxt med en tillväxtkonstant på 0,1, hur många växter kommer det att finnas i USA år 2050?

Lösning

Vi låter t = 0 motsvara år 1960. Då är C0 = 200. Den exponentiella tillväxtmodellen ger

P = 200 e0,1t

Nästan, 2050 motsvarar t = 90. Det innebär att

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1 620 616

Det kommer att finnas 1 620 616 av dessa utländska anläggningar år 2050. Grafen visas nedan.

Exponentialmodellen har en allvarlig brist. Den utgår från att befolkningen kommer att fortsätta att växa oavsett utrymme och näringsämnen. En mer realistisk modell tar hänsyn till att det finns en bärkraft, det vill säga en befolkning som inte kan överskridas. Denna modell kallas den logistiska sekvensen och ges av

där a, b och k är positiva konstanter.

Exempel

Den mänskliga befolkningen (i miljarder människor) på jorden kan modelleras av den logistiska tillväxtkurvan

där t är året sedan 1970. Hur stor kommer befolkningen att vara år 2010? Vad är jordens bärkraft för människor?

Lösning

För att bestämma befolkningen år 2010 ser vi att 2010 motsvarar t = 40. Vi sätter in detta t och använder en miniräknare för att få

Det kommer att finnas ungefär 8,8 miljarder människor på jorden år2010.

För att hitta bärförmågan hittar vi gränsen för befolkningen när tiden närmar sig oändligheten. Från ekvationen ser vi att den exponentiella termen går till 0 eftersom exponenten är negativ. Därför är bärförmågan L

.