Métodos verticais

Modelos populacionais matriciais

Assumimos um modelo de tempo discreto no qual os passos do tempo representam um ciclo de alimentação-oviposição do mosquito sobre o qual a probabilidade de sobrevivência é (phi)). Na literatura isto está relacionado com a probabilidade de sobrevivência diária (\(p\)) por

$$p^{d} = \phi$$
(1)

onde \(d\) é a duração do ciclo em dias.

Matriz estruturada por idade Descrevemos primeiro a dinâmica da população de mosquitos adultos na forma de matriz estruturada por idade em geral:

>$$$esquerda( {t + 1} }direita) = {t + 1}esquerda esquerda( t }direita)$$
(2)

Onde \(f_{i}}) é a fertilidade per capita e \(f_phi_{i}) é a probabilidade de sobrevivência (por ciclo) de uma classe de idade i. Esta é a forma correta para mosquitos sob a suposição comum de ausência de senescência (sobrevivência independente da idade).

Em certas condições em que existe uma classe de idade mais antiga que não sobrevive (\phi_{m} = 0\); ‛Leslie matrix’) ou quando a classe de idade mais antiga representa todos os animais desta idade e mais velhos com a mesma probabilidade de sobrevivência (ver ; ‛Usher matrix’) a matriz infinita em (Eqn. 2) pode ser tratada como finita da seguinte forma:

Em ambos os casos, certos resultados da teoria da população estável aplicam-se apenas com fracas suposições , mais notadamente que a estrutura da população a longo prazo é atingida independentemente das condições iniciais (é ‛ergodic’ ). O número de indivíduos da classe etária i nesta estrutura etária estável é dado por:

$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \Limites_{k = 0}^{i – 1} phi_{\k} }$$
(4)

onde }(lambda}) é a taxa de crescimento da população.

Modelos convencionais de mosquitos normalmente supõem probabilidades iguais (independentes da idade) de sobrevivência (digamos) das classes de idade {0} = {1}phi_{1} = {1}ldots {1}phi_{m} = {m}), e fertilidade independente da idade {1}(f_{0} = f_{1} = {1}ldots f_{m} = f}f). Uma outra suposição comum é que as classes de idade dos mosquitos têm a mesma duração (muito provavelmente a duração da oviposição ou do ciclo gonotrófico). Na distribuição etária estável, o número na classe de idade i reduz para :

$$x_{i} = x_{0} \esquerda( {\frac{\phi}{\lambda }} ^{i}$$
(5)

Então se além disso a população é estacionária (\(\lambda = 1)^) então a relação entre as classes etárias adjacentes é dada por:

$$$frac{{{x_{i} }{{x_{i – 1} }} = \phi$$
(6)

Muitos estudos com mosquitos utilizaram este resultado, pelo menos implicitamente.

Matriz estruturada em fase Uma formulação alternativa é um modelo estruturado em fase, onde os indivíduos são classificados por uma fase ou tamanho de vida, em vez de uma idade. Ao contrário de um modelo Leslie, os modelos classificados por etapas permitem o modelo ‛self-loops’ onde um estado ‛transition’ pode levar a si mesmo. Os marcadores fisiológicos de idade que podem ser usados na literatura sobre mosquitos são descritos por Silver . O marcador de fase mais frequente que tem sido utilizado é a condição de postura do mosquito fêmea, mais simplesmente (e mais comumente) se o mosquito já pôs ou não ovos (é parous) ou não (é nulíparo). Para um modelo nulíparo/paroso:

$$$$esquerda( {t + 1} {dir.) = {x_{p}} = {x_{0}} = {x_{pir.) $$
(7)

Para uma população em equilíbrio, temos {x_{x_{p}}{x_{0}} = {x_frac{\i }{1 – \phi) (cf. Eqn. 6) ou

$$$\phi = \frac{{x_{p} }}{{{x_{0} + x_{p} }}$$$
(8)

Um modelo estruturado em etapas pode não ter a propriedade de ‛ergodic, ou seja, seu estado de longo prazo pode depender das condições iniciais.

Matriz de estado da doença Após a infecção inicial, o parasita malarial desenvolve-se durante o período de incubação ‛extrinsic’ (EIP) para causar a infecção do hospedeiro mosquito com esporozoítos. A infecciosidade do mosquito pode ser vista como um marcador grosseiro de idade, ou explicitamente caracterizada pelo seu estado de transmissão da doença. Para este último, e para demonstrar a ligação com outras abordagens acima, escrevemos o processo numa forma de matriz de tempo discreto (compare com os Eqns anteriores. 2 e 7 onde os mosquitos foram categorizados pela sua idade ou paridade):

$$$esquerda( {t + n}direita) = {t }esquerda-esquerda( t }direita)$$
(9)

onde {\i(S}),{\i(E\i},{\i}denota mosquitos susceptíveis, expostos (infectados mas não infecciosos) e infecciosos; \é a probabilidade de infecção (transições de mosquitos susceptíveis a infectados); a probabilidade de um mosquito infectado transitar para um estado infeccioso; a probabilidade de um mosquito sobreviver à PEI, assumindo o mesmo para todas as classes, e a PEI em dias.

Nota que o termo Eqn. 9 pode ser escrito em termos de sobrevivência diária como p^{n}).

Ressaltamos que o Eqn. 9 é altamente simplificado: o termo probabilidade de infecção é uma função de outros parâmetros, incluindo em particular o número de hospedeiros infecciosos, como os humanos. A equação é claramente parte de um sistema de doença mais amplo que inclui também a dinâmica dos hospedeiros vertebrados. Uma forma muito mais completa deste sistema de tempo discreto foi estudada .

Podemos examinar o sistema quando, assumindo que está em equilíbrio, por isso, (conjunto de argumentos 0.3emhbox ($$$$$$$). \esquerda( t + n) direita) =underset (“erise0.3emhbox”) \Esquerda (t right) =underset (t erise0.3emhbox ($$$smash ($$scriptscriptscriptscriptstyle-}$), digamos. Se a transição de infectado para infeccioso é certa ({\gamma = 1}), então a terceira linha do Eqn. 9 rende que {\x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} {direita) = x_{I}^{ *) so:

$$$\xi = {x_{I}^{ *} }{{{{esquerda( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } {direita)}$$
(10)

O lado direito pode ser escrito de forma equivalente e de uma forma mais familiar como {s/Y}. Aqui, é a proporção de infecciosos (a proporção de mosquitos contendo esporozoítos nas glândulas salivares) e é a proporção de mosquitos infectados.

É muito mais comum na literatura usar forma contínua de equações dinâmicas para descrever o sistema de estado da doença, em vez de forma discreta no tempo. Usando o primeiro, vários autores fornecem expressões para a taxa de sporozoite que escreve como :

$$$frac{acX}{g + acX}{ \exp }{esquerda( – gn} {direita)$$

onde { a) é a taxa de mordedura, {(g) é a taxa de mortalidade contínua, \(c) é a probabilidade de um mosquito não infectado ficar infectado após morder um humano infeccioso e (X) é a proporção de humanos infectados. O termo mão esquerda é a proporção de mosquitos infectados (Y)) e o termo mão direita é a probabilidade de sobreviver à PEI (Yxi), de modo que, novamente, 3747>

Estimativa

Esta seção desenvolve o processo de estimativa para os modelos de população acima. Abreviaremos alguns dos métodos de estimação (LRH, LRV, JS, ou FF) como explicado mais abaixo.

Proporção parous Uma amostra transversal da estrutura-estágio com uma suposição de estabilidade dá uma estimativa de \(\phi\) (Eqn. 8). Suponha que todas as classes etárias são amostradas de forma representativa e a sobrevivência é constante. Seja o número de ciclos antes dos quais o mosquito começa a pôr ovos, para que o número esperado seja nulo (x_{n} = soma nolimits_{0}^{f} {x_{i}) e os números esperados em classes de idade mais antigas, agora parosas, são Então a proporção nula é

$$$frac{{{x_{n} {{x_{n}}{x_{n} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + {cdots }} = \frac{{x_{n} {{x_{n}}{x_{n} \esquerda( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } {direita)} = {esquerda( {1 – {phi} {1 – {phi} {2} $$
(11)

Desta forma a proporção parous é uma estimativa da taxa de sobrevivência durante um ciclo.

Também é possível utilizar uma abordagem de série temporal . Assumindo a presença de erro de amostragem em séries temporais de estimativas de parous \(X_{p} \esquerda( 1 {p}direita),X_{p} \esquerda (2 à direita), pontos) e mosquitos nulíparos (X_{0} \esquerda( 1 {0}direita),X_{0} \esquerda( 2 direita), pontos), depois X_{p} \esquerda( {t + 1} direita) = {t + 1} esquerda + {vepsilon}) pode ser resolvido por mínimos quadrados para uma estimativa de {t + 1}.

Aproximação de regressão (LRV) Começando com a relação {x_{i} = x_{0} {i} ,i = 1, {ldots ,m} quando a população está estacionária (ver Eqn. 5) e tomando os logaritmos dos valores esperados, (log à esquerda( à direita) aprox. E à esquerda = log à esquerda( à direita) + i.log à esquerda( à direita)). Com erros distribuídos normalmente (log esquerda( x_direita) + i.log esquerda( x_direita) +varepsilon) que podem ser resolvidos por regressão, e o coeficiente estimado pode ser transferido de volta para uma estimativa de (phi_phi). O método é delineado por exemplo por .

Parasitological estimate Reinterpretamos um argumento conciso para estimar {\i} (e portanto {\i}) como segue. Uma amostra de mosquito selvagem a {\i}(t) é avaliada para a proporção infecciosa, para dar a taxa sporozoite ‛immediate”. Outra amostra da mesma população é mantida viva durante o período da PEI (n), e também avaliada para a proporção infecciosa, agora em t + n (a taxa de sporozoite de ‛delayed). Assumimos que não há perdas, pois os mosquitos são protegidos de fontes naturais de mortalidade após a (t), e por suposição não há senescência. Assumimos ainda que todos os mosquitos infectados (mas ainda não infecciosos) passam a infecciosos pela amostra. O mosquito infeccioso em t + n é composto por aqueles infectados em t + n, mais qualquer infectado em t e tornando-se infeccioso sobre a PEI: x_I \esquerda( {t + n} direita) = x_{I} \esquerda ( t direita) + x_{E} \Esquerda( t=direita)). Então, uma estimativa do número de infectados mas não infecciosos em T é que \esquerda( t {I} = x_{I} \esquerda ( t + n ) – x_{I} \Esquerda( t=direita)). A razão de infecção: infectada é então

$$$frac{{{x_{I} \esquerda( t direita)}{x_{I} \esquerda( t=direita) + que (x) \esquerda( t direita)=frac{{x_{I} \esquerda( t direita)}{x_{I} \esquerda( {t + n}direita)}$$
(12)

Esta razão pode estar relacionada com a sobrevivência: como mostrado acima (Eqn. 10), a razão (s/Y)) é a probabilidade de sobreviver à PEI ({\i}), da qual se pode encontrar a(p) ou a(phi). Saul et al. e seguidores modificaram esta abordagem para estimar a sobrevivência ao longo de um ciclo de alimentação sob as condições de ‛natural, usando parâmetros mais praticáveis para estimar, particularmente as proporções infectadas numa captura mordedora e infectadas numa captura em repouso (alimentada).

Macdonald apresentou uma série de estimativas heurísticas supostas a partir de dados de infecção de outros autores, essencialmente resolvendo um análogo de Eqn. 10.

Métodos horizontais

Recaptura de marcas

Coretos de mosquitos marcados de alguma forma são acompanhados ao longo do tempo e os tempos de recuperação, e talvez de relançamento, são analisados. A população marcada está sob o controlo do investigador, incluindo os tempos de entrada dos mosquitos marcados recentemente. Os mosquitos podem ser mortos na captura, ou relançados, com ou sem novas marcas. Um modelo para a sobrevivência dos mosquitos libertados ao longo do tempo e suas probabilidades de recaptura é usado para estimar os parâmetros de sobrevivência. Ao contrário dos métodos verticais, não se supõe que a população tenha atingido o equilíbrio ou uma estrutura etária estável.

Os estudos de quase todas as marcas de recaptura (MR) de mosquitos são experiências de soltura única. Uma amostra de tamanho \(m_{0}}) de mosquitos marcados é liberada e os números recapturados em tempos futuros são registrados. Uma minoria dos experimentos de MR são liberações múltiplas. Em uma ocasião de recaptura, mais mosquitos são liberados. Estes podem ser mosquitos marcados anteriormente, ou recentemente marcados.

Estimation

Single release Let {{0}{m_) be the number of mosquitoes marked at time 0 and {1} ,m_{2} ,m_{3} , {3}ldots) be the numbers of those recapture at later times. Seja a (constante) probabilidade de recaptura em qualquer ocasião. O número esperado recapturado no tempo k é (ver mas com uma notação diferente):

$$E^esquerda( {m_{k} } {0} = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$
(13)

De longe, a abordagem mais comum para estimar é expressar Eqn. 13 como uma equação de regressão a partir da qual \phi} pode ser estimada :

>$$E^E esquerda( {log=esquerda( {m_{k} + 1} direita)} \direita) Aproximadamente log à esquerda( m_0} {m_pi } direita) + esquerda( k – 1} direita)log à esquerda( 1 -pi } direita) + k.log à esquerda( phi {phi } direita) $$
(14)

com uma unidade adicionada ao {m_{k}) para garantir a computabilidade se a contagem zero surgir . Uma regressão sem o termo médio pode ser usada (ver por exemplo ), que pode ser satisfatória se os mosquitos forem relançados, ou se o \pi é pequeno.

Multiple release Existem vários métodos que, embora muitas vezes destinados a estimativas de abundância, também podem estimar a sobrevivência. Estes métodos são relativamente complexos e nós referimos os leitores em outros lugares para detalhes completos, por exemplo . Cobrimos brevemente os três que encontramos:

(i) A principal função do método Fisher-Ford (FF) é estimar o tamanho da população. No entanto, ele contém uma estimativa de sobrevivência associada que foi utilizada por alguns poucos autores. O método assume sobrevivência independente do tempo, e utiliza o tempo médio observado de sobrevivência de indivíduos marcados que sobrevivem para recapturar, e o tempo médio esperado de sobrevivência para aqueles liberados dado Para o caso mais simples de um único tempo de recaptura (k) capturado no total de mosquitos previamente marcados (ver para mais extensão a múltiplas recapturas), e com o número destes libertados j dias antes, o tempo médio de sobrevivência observado é:

$$frac{{\i} {r_{j} j} {{m_{k}}{m_{k} $$$

Denotando por { a_{j}) o número de dias antes do tempo de amostragem, o tempo médio de sobrevivência esperado (dos mosquitos libertados que sobrevivem ao tempo) é:

$$$frac{{j}nolimits_{a_{j} \phi^{j} j} “Nolimits”… \phi^{j} } $$$

Uma estimativa de {\phi} é ajustada que iguala o tempo médio de sobrevivência observado e esperado.

(ii) O método Jolly-Seber (JS) usa múltiplas libertações e recapturas para estimar a sobrevivência (dependente do tempo) (e outros parâmetros, nomeadamente a abundância) e é de uso comum pelos ecologistas . A essência do método é estimar a sobrevivência a partir de estimativas dos tamanhos populacionais marcados (M_{t}} e {M_{t + 1}}) em tempos adjacentes, ou seja, {hat{\phi } = {M_{t + 1} {M_{t + 1}}}. As estimativas de M_t são obtidas assumindo que a futura taxa de recaptura de animais já marcados não capturados no tempo é a mesma que a futura taxa de recaptura dos animais marcados libertados no tempo. No modelo básico, a taxa de sobrevivência pode variar com o tempo, mas pode ser modificada para permitir restrições (por exemplo, sobrevivência independente do tempo) e, ao fazê-lo, pode melhorar a precisão das estimativas. Em estudos com mosquitos o método JS é normalmente aplicado na sua totalidade, embora o modelo contenha um componente (o modelo ‘Cormack-Jolly-Seber’) que é suficiente para estimar a sobrevivência.

(iii) Saul desenvolveu as suas próprias estimativas que envolvem soluções algébricas para equações de MR. O método supõe sobrevivência independente do tempo.

Outros métodos de estimativa

Outros métodos eram incomuns e nós não fazemos mais do que mencioná-los. Estes incluem a taxa de declínio populacional sob condições de recrutamento zero; o método ‛Manly-Parr’ , aplicado por (embora nenhuma estimativa de sobrevivência tenha sido dada para este método); e abordagens informais (por exemplo, ajustando graficamente uma curva de sobrevivência).

Pesquisa e meta-análise

A fim de capturar estimativas de sobrevivência os autores desenvolveram uma estratégia sistemática de busca e a executaram nas seguintes bases de dados: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) e Scopus. As buscas foram realizadas em novembro de 2017, sem data ou limitações de idioma. A Scoping indicou que a Web of Science daria os resultados mais relevantes, por isso utilizou uma estratégia mais ampla do que as outras. Estratégia de busca na Web of Science: (Mosquito* ou anophel*)TI E (sobrevivência* OU longevidade OU mortalidade OU ciclo de vida* ou “ciclo de vida*”)TS. Ambiente Completo, Saúde Global, Scopus e estratégia de busca PubMED: (Mosquito* ou anophel*)TI E (sobrevivência* OU longevidade OU mortalidade OU ciclo de vida* ou “ciclo de vida*)TI.

Exclusões foram então feitas de estudos não publicados ou não em inglês, intervenções que poderiam afetar a sobrevivência, por exemplo inseticida; estudos sem fontes naturais de mortalidade (estudos laboratoriais), exceto estudos que utilizaram o site ‛immediate: taxa sporozoite tardia’ (ver acima), que supõe apenas a ausência de mortalidade em timepoints futuros, além do timepoint da estimativa; estudos reanalisando dados com um modelo dependente da idade; estudos metodológicos/de simulação; artigos de revisão ou outras estimativas duplicadas; e estudos que não fornecem estimativas. Nos casos em que foi fornecida apenas uma proporção parous, tratamos isso como uma estimativa da probabilidade de sobrevivência do ciclo.

Planeamos realizar meta-análises com estudos ponderados pela ponderação da variação inversa. No entanto, a maioria dos estudos verticais e de captura de marcas de soltura única não forneceram estimativas de variância ou métricas relacionadas (intervalos de confiança, etc.). Por isso, realizamos meta-análises não ponderadas. As taxas de sobrevivência diárias foram transformadas em log(odds) antes da meta-análise e, em seguida, transformadas para apresentação. A análise foi realizada em R 3.5 com o pacote metafor.