AntiderivativeEdit

Pelo teorema fundamental do cálculo, o integral é o antiderivado.

Se tomarmos a função 2 x {\displaystyle 2x}

{\i1} , por exemplo, e anti-diferenciá-lo, podemos dizer que um integral de 2 x {\i}

{\a2}

é x 2 ^{\a2}}

{\\i1}

. Dizemos um integral, não o integral, porque o antiderivado de uma função não é único. Por exemplo, x 2 + 17 ^{\displaystyle x^{\2}+17}

também se diferencia para 2 x {\i1}displaystyle 2x

{\\i1}

. Devido a isso, ao tomar o antiderivado deve ser adicionado um C constante. Isto é chamado de integral indefinido. Isto é porque ao encontrar a derivada de uma função, constantes iguais a 0, como na função f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Note o 0: não podemos encontrá-lo se tivermos apenas a derivada, então a integral é ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

{\a10x+9)},dx=5x^{2}+9x+C}

.

Equações SimplesEditar

Uma equação simples, tal como y = x 2 {\\displaystyle y=x^{2}}

{\\i1}{\i1}

, pode ser integrado com respeito a x usando a seguinte técnica. Para integrar, você adiciona 1 à potência x é elevada, e depois divide x pelo valor desta nova potência. Portanto, a integração de uma equação normal segue esta regra: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}+C}

{\displaystyle dx}

no final é o que mostra que estamos integrando com respeito a x, ou seja, como x muda. Isto pode ser visto como o inverso da diferenciação. No entanto, há uma constante, C, adicionada ao integrar. Esta é chamada de constante de integração. Isto é necessário porque diferenciar um número inteiro resulta em zero, portanto integrar zero (que pode ser colocado no final de qualquer integrando) produz um número inteiro, C. O valor deste número inteiro seria encontrado usando determinadas condições.

Equações com mais de um termo são simplesmente integradas pela integração de cada termo individual:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\\i1}displaystyle {\i}int _{\i},Não é um problema… Não é um problema… Não é um problema…

{\i1}displaystyle {\i}int _{\i1},^{\i}x^{\i}+3x-2dx=int _{\i},^{\i}x^2}dx+int _{\i},^,^3xdx-int _{\i1,^2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integração envolvendo e e lnEdit

Existem certas regras para integração usando e e e o logaritmo natural. O mais importante, e x {\\i1}displaystyle e^{x}}

{\i1}{\i1}

é a integral de si mesma (com a adição de uma constante de integração): ∫ e x d x = e x + C {\i}displaystyle ^{\i}int _{\i,^{\i,}e^{x}dx=e^{x}+C}

{\i1}displaystyle {\i}int _{\i,}e^{x}dx=e^{x}+C}

O logaritmo natural, ln, é útil ao integrar equações com 1 / x {\i1}displaystyle 1/x}

{\i1x}

. Estes não podem ser integrados usando a fórmula acima (adicionar um à potência, dividir pela potência), porque adicionar um à potência produz 0, e uma divisão por 0 não é possível. Em vez disso, a integral de 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\\i1}</div> é ln x{\i1}displaystyle {\i}}<div>{\i1}displaystyle {\i}{\i1}x70></div> : ∫ 1 x d x = ln x + C {\i}displaystyle {\i}int _{\i},^{\i}{\i}{\i1}dx={\i x+C} <div><img src=