e

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Definição de e

Existe uma base especial de um exponencial que desempenha um papel particularmente importante na matemática. Uma forma de definir e é com a fórmula de juros compostos

A = P(1 + r/n)nt

onde A corresponde ao montante na conta após t anos num banco que dá uma taxa de juro anual r composta vezes por ano. Por exemplo, se n = 4 dizemos que a conta é composta trimestralmente e se n = 365 então a conta é composta diariamente. Quanto mais frequentemente a conta é composta, mais rápido os juros crescem.

Se deixarmos

r = 1 P =1 t = 1 e x = 1/n

>a fórmula de juros compostos dá

f(x) = (1 + x)1/x

Podemos interpretar x como a fração de um ano que os juros compõem. Se esta fração chegar a 0 então podemos construir a seguinte tabela:

Esta função parece convergir para um número, a que chamamos e.

Interesse Contínuo

Para interesse composto continuamente, temos a fórmula:

A = Pert

Exemplo de inflação
Com uma taxa de inflação de 8% na indústria da saúde, quanto custará o seguro de saúde em 45 anos se eu pagar atualmente $200 por mês?

Solução
Temos
r =.08 P =200 e t = 45
Então isso

A = 200e(.08)(45) = $7319 por mês!

Modelos de crescimento populacional

Um dos modelos mais simples de crescimento populacional surge da suposição de que a taxa de crescimento é proporcional à população atual. Mais tarde mostraremos que sob esta suposição, a população Pat time t é dada por

P = C0 ekt

Onde C0 é a população inicial e k é uma constante de proporcionalidade.

Exemplo

Em 1960, duzentas plantas da Europa foram trazidas para os Estados Unidos para o forlandscaping. Assumindo crescimento exponencial com uma constante de crescimento de 0,1,quantas plantas estarão nos EUA até o ano 2050?

Solução

Deixamos t = 0 corresponder ao ano1960. Depois C0 = 200. O modelo de crescimento exponencial dá

P = 200 e0,1t

Next, 2050 corresponde a t = 90. Assim que

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

Haverá 1.620.616 destas plantas estrangeiras até o ano2050. O gráfico é mostrado abaixo.

O modelo exponencial tem uma falha grave. Ele assume que a população continuará a crescer independentemente do espaço e dos nutrientes. Um modelo morerealista explicará o fato de que existe uma capacidade de carga, ou seja, uma população que não pode ser superada. Este modelo é chamado de seqüência logística e é dado por

onde a, b, e kare constantes positivas.

Exemplo

A população humana (em bilhões de pessoas) na Terra pode ser modelada pela curva de crescimento teológico

onde t é o ano desde 1970. O que será a população em 2010? Qual é a capacidade de carga humana da Terra?

Solução

Para determinar a população em 2010, vemos que 2010 corresponde a t = 40. Ligamos este t e usamos uma calculadora para obter

Existirão aproximadamente 8,8 bilhões de pessoas na Terra no ano 2010.

Para encontrar a capacidade de carga, encontramos o limite da população à medida que o tempo se aproxima do infinito. Da equação vemos que o termo exponencial vai a 0 desde que o exponente é negativo. Assim, a capacidade de carga L é