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Estudos Bernoulli

O módulo Distribuições discretas de probabilidade discute a ideia de uma sequência de estudos independentes, onde cada estudo tem a mesma probabilidade de sucesso \(p\). Esta estrutura leva a um número de variáveis aleatórias com diferentes distribuições. Nesse módulo, a estrutura de testes é usada para introduzir a distribuição geométrica. Devido à importância geral da estrutura de ensaios, examinamo-la sistematicamente neste módulo.

A ideia central é um ensaio de Bernoulli – com o nome de Jacob Bernoulli (1655-1705), que era um dos membros de uma família de matemáticos proeminentes. Um julgamento Bernoulli é um procedimento aleatório que pode ter um de dois resultados, que são arbitrariamente rotulados de ‘sucesso’ e ‘fracasso’.

Um julgamento Bernoulli tem uma variável aleatória Bernoulli correspondente, que conta o número de sucessos em um único julgamento. Os únicos valores possíveis desta variável aleatória são zero e um; a variável aleatória toma o valor um se ocorrer um sucesso, e o valor zero se ocorrer um fracasso.

Deixe que a variável aleatória Bernoulli seja uma variável aleatória Bernoulli com o parâmetro \i(p), onde \i(0 < p < 1\i>). \A variância de X é igual a P(1-p)}, um resultado obtido da seguinte forma:\{alinhamento*}mathrm{var}(X) &= ^2 p_X(x-\u_X)^2 p_X(x) ^2 p_7195>= (0-p)^2 (1-p)^2 p ^2 p ^2 p(1-p)^95>= p(1-p)^bigl(p+(1-p)^bigr)\Fim de alinhamento.

Bernoulli variáveis aleatórias surgem de uma forma que ocorre de forma muito ampla. Suponha que estamos interessados em uma população de ‘unidades’, na qual a proporção de unidades com uma característica particular é {\i}(p). Aqui uma ‘unidade’ pode ser uma pessoa, um animal, uma planta, uma escola, uma empresa, ou muitas outras entidades, de acordo com a população em estudo. Se a população é infinita, ou tão grande que possamos considerá-la efetivamente infinita, então a amostragem sem substituição é a mesma que a amostragem com substituição, e se cada unidade é amostrada independentemente de todas as outras, a probabilidade de qualquer unidade amostrada com a característica é igual a \\(p\).Se definirmos ‘sucesso’ como ‘tendo a característica de interesse’, então cada observação pode ser considerada como um julgamento Bernoulli, independente das outras observações, com probabilidade de sucesso igual a \i(p\i). Aqui estão alguns exemplos:

  • É realizada uma sondagem política de eleitores. A cada eleitor é perguntado se aprova ou não o primeiro-ministro.
  • É obtida uma amostra aleatória de escolas. As escolas são avaliadas quanto à sua conformidade com uma política adequada de exposição solar para seus alunos.
  • Uma amostra aleatória de pessoal da polícia é entrevistada. Cada pessoa é avaliada quanto ao conhecimento adequado ou não das diferentes culturas.
  • Uma amostra aleatória de motoristas são testados com drogas, e é registrado se eles são positivos ou não para o uso recente de metanfetaminas.
  • Uma amostra aleatória de futebolistas é escolhida e seu registro de lesões é avaliado, de acordo com se eles tiveram ou não mais de três episódios de concussão.

A consideração destes exemplos sugere que estamos interessados no número de sucessos, em geral, e não apenas no exame das respostas individuais. Se tivermos {\\i1}testemunhos, queremos saber quantos deles são êxitos.

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