Intégrale

AntidérivéeModifier

Selon le théorème fondamental du calcul, l’intégrale est l’antidérivée.

Si nous prenons la fonction 2 x {\displaystyle 2x}

, par exemple, et qu’on l’antidifférencie, on peut dire qu’une intégrale de 2 x {\displaystyle 2x}

est x 2 {\displaystyle x^{2}}

. On dit une intégrale, et non l’intégrale, car l’antidérivée d’une fonction n’est pas unique. Par exemple, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

se différencie aussi en 2 x {\displaystyle 2x}

. Pour cette raison, lors de la prise de l’antidérivée, une constante C doit être ajoutée. C’est ce qu’on appelle une intégrale indéfinie. En effet, lorsqu’on trouve la dérivée d’une fonction, les constantes sont égales à 0, comme dans la fonction f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Notez le 0 : on ne peut pas le trouver si on n’a que la dérivée, donc l’intégrale est ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Equations simplesEdit

Une équation simple, telle que y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}.

, peut être intégrée par rapport à x en utilisant la technique suivante. Pour intégrer, on ajoute 1 à la puissance à laquelle x est élevé, puis on divise x par la valeur de cette nouvelle puissance. Par conséquent, l’intégration d’une équation normale suit cette règle : ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

Le d x {\displaystyle dx}

à la fin est ce qui montre que nous intégrons par rapport à x, c’est à dire que x change. On peut considérer que c’est l’inverse de la différenciation. Cependant, une constante, C, est ajoutée lors de l’intégration. On l’appelle la constante d’intégration. Elle est nécessaire parce que la différentiation d’un nombre entier donne zéro, donc l’intégration de zéro (qui peut être mis à la fin de n’importe quel intégrande) produit un nombre entier, C. La valeur de ce nombre entier serait trouvée en utilisant des conditions données.

Les équations comportant plus d’un terme sont simplement intégrées en intégrant chaque terme individuel :

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\{\i1},}x^{\i}2}+3x-2dx={\i1}int _{\i},}^{\i},}x^{\i}2dx+{\i}int _{\i},}^{\i},}3xdx-{\i}int _{\i},}^{\i},}2dx={\frac {x^{\i}}{3}+{\i}frac {3x^{\i}2}}-2x+C}

Intégration impliquant e et lnEdit

Il existe certaines règles pour intégrer en utilisant e et le logarithme naturel. Plus important encore, e x {\displaystyle e^{x}}

est l’intégrale de lui-même (avec l’ajout d’une constante d’intégration) : ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Le logarithme naturel, ln, est utile pour intégrer des équations avec 1 / x {\displaystyle 1/x}.

. Ceux-ci ne peuvent pas être intégrés en utilisant la formule ci-dessus (ajouter un à la puissance, diviser par la puissance), car l’ajout d’un à la puissance produit 0, et une division par 0 n’est pas possible. Au lieu de cela, l’intégrale de 1 / x {\displaystyle 1/x}

est ln x {\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}