e

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Définition de e

Il existe une base spéciale d’une exponentielle qui joue un rôle particulièrement important enmathématiques. Une façon de définir e est avec la formule des intérêts composés

A = P(1 + r/n)nt

où A correspond au montant du compte après t années dans une banque qui donne un taux d’intérêt annuel r composén fois par an. Par exemple si n = 4 on dit que le compte est composé trimestriellement et si n = 365 alors le compte est composé quotidiennement. Plus le compte est composé souvent, plus les intérêts augmentent rapidement.

Si on laisse

r = 1 P =1 t = 1 et x = 1/n

la formule des intérêts composés donne

f(x) = (1 + x)1/x

On peut interpréter x comme la fraction d’année où les intérêts sont composés. Si cette fraction est égale à 0, nous pouvons construire le tableau suivant :

Cette fonction semble converger vers un nombre, que nous appelons e.

Intérêt continu

Pour les intérêts composés de façon continue, nous avons la formule :

A = Pert

Exemple d’inflation
Avec un taux d’inflation de 8% dans l’industrie de la santé, combien coûtera l’assurance maladie dans 45 ans si actuellement je paie 200$ par mois ?

Solution
Nous avons
r =.08 P =200 et t = 45
De sorte que

A = 200e(.08)(45) = 7319 $ par mois !

Modèles de croissance de la population

L’un des modèles les plus simples de croissance de la population découle de l’hypothèse que le taux de croissance est proportionnel à la population actuelle. Plus tard, nous montrerons que sous cette hypothèse, la population Pat temps t est donnée par

P = C0 ekt

Où C0 est la population initialeet k est une constante de proportionnalité.

Exemple

En 1960, deux cents plantes d’Europe ont été introduites aux États-Unis pour l’aménagement paysager. En supposant une croissance exponentielle avec une constante de croissance de 0,1,combien de plantes y aura-t-il aux États-Unis en 2050 ?

Solution

On laisse t = 0 correspondre à l’année1960. Alors C0 = 200. Le modèle de croissance exponentielle donne

P = 200 e0,1t

Puis, 2050 correspond à t = 90. De sorte que

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1 620 616

Il y aura 1 620 616 de ces usines étrangères en l’an2050. Le graphique est montré ci-dessous.

Le modèle exponentiel a un sérieux défaut. Il suppose que la population continuera à croître indépendamment de l’espace et des nutriments. Un modèle plus réaliste tiendra compte du fait qu’il existe une capacité de charge, c’est-à-dire une population qui ne peut être dépassée. Ce modèle est appelé la séquence logistique et est donné par

où a, b et k sont des constantes positives.

Exemple

La population humaine (en milliards de personnes) sur terre peut être modélisée par la courbe de croissance logistique

où t est l’année depuis 1970. Quelle sera la population en2010 ? Quelle est la capacité de charge humaine de la terre ?

Solution

Pour déterminer la population en 2010, on voit que 2010 correspond à t = 40. On branche ce t et on utilise une calculatrice pour obtenir

Il y aura environ 8,8 milliards de personnes sur terre en l’an2010.

Pour trouver la capacité de charge, on trouve la limite de la population lorsque le temps s’approche de l’infini. D’après l’équation, on voit que le terme exponentiel va à 0 puisque l’exposant est négatif. Donc la capacité de charge L est