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Essais de Bernoulli

Le module Distributions discrètes de probabilités aborde l’idée d’une séquence d’essais indépendants, où chaque essai a la même probabilité de succès \(p\). Cette structure conduit à un certain nombre de variables aléatoires avec des distributions différentes. Dans ce module, la structure des essais est utilisée pour introduire la distribution géométrique. En raison de l’importance générale de la structure des essais, nous l’examinons systématiquement dans ce module.

L’idée centrale est un essai de Bernoulli – nommé d’après Jacob Bernoulli (1655-1705), qui faisait partie d’une famille d’éminents mathématiciens. Un essai de Bernoulli est une procédure aléatoire qui peut avoir l’un des deux résultats, qui sont arbitrairement étiquetés « succès » et « échec ».

Un essai de Bernoulli a une variable aléatoire de Bernoulli correspondante, qui compte le nombre de réussites dans un seul essai. Les seules valeurs possibles de cette variable aléatoire sont zéro et un ; la variable aléatoire prend la valeur un en cas de succès, et la valeur zéro en cas d’échec.

Disons que \(X\) est une variable aléatoire de Bernoulli avec un paramètre \(p\), où \(0 < p < 1\). La fonction de probabilité \(p_X(x)\) de \(X\) est donnée par \La moyenne de cette variable aléatoire est \begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x)\\N{7195>= \bigl(0 \times (1-p)\bigr) + \bigl(1 \times p\bigr)\N{7195>= p.\end{align*}La variance de \(X\) est égale à \(p(1-p)\), un résultat obtenu comme suit :\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\\N &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \N &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \N &= p(1-p).\end{align*}

Les variables aléatoires de Bernoulli se présentent d’une manière qui se produit très largement en effet. Supposons que nous nous intéressions à une population d' »unités », dans laquelle la proportion d’unités présentant une caractéristique particulière est \(p\). Ici, une « unité » peut être une personne, un animal, une plante, une école, une entreprise ou bien d’autres entités, selon la population étudiée. Nous prélevons un échantillon aléatoire d’unités dans la population, et observons si chaque unité possède ou non la caractéristique qui nous intéresse.

Si la population est infinie, ou si grande que nous pouvons la considérer comme effectivement infinie, alors l’échantillonnage sans remplacement est identique à l’échantillonnage avec remplacement, et si chaque unité est échantillonnée indépendamment de toutes les autres, la probabilité que toute unité échantillonnée possède la caractéristique est égale à \(p\).Si nous définissons le « succès » comme « avoir la caractéristique d’intérêt », alors chaque observation peut être considérée comme un essai de Bernoulli, indépendant des autres observations, avec une probabilité de succès égale à \(p\).L’importance de cette perspicacité est qu’elle est si largement applicable. Voici quelques exemples:

  • Un sondage politique auprès d’électeurs est réalisé. On demande à chaque électeur sondé s’il approuve ou non le Premier ministre actuellement.
  • On obtient un échantillon aléatoire d’écoles. Les écoles sont évaluées sur leur conformité avec une politique appropriée sur l’exposition au soleil de leurs étudiants.
  • Un échantillon aléatoire de personnel de police est interrogé. Chaque personne est évaluée pour savoir si elle fait preuve ou non d’une sensibilisation appropriée aux différentes cultures.
  • Un échantillon aléatoire de conducteurs est soumis à un test de dépistage de drogues, et il est enregistré s’ils sont positifs ou non à une utilisation récente de méthamphétamine.
  • Un échantillon aléatoire de footballeurs est choisi et leur dossier de blessures est évalué, selon qu’ils ont eu ou non plus de trois épisodes de commotion cérébrale.

La considération de ces exemples suggère que nous sommes intéressés par le nombre de réussites, en général, et pas seulement par l’examen des réponses individuelles. Si nous avons \(n\) essais, nous voulons savoir combien d’entre eux sont des succès.

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