X

Tietosuoja & Evästeet

Tämä sivusto käyttää evästeitä. Jatkamalla hyväksyt niiden käytön. Lue lisää, mukaan lukien evästeiden hallitseminen.

Saavutettu!

Mainokset

Spiraali on käyrä, joka ”lähtee liikkeelle pisteestä ja etääntyy kauemmas kiertäessään pisteen ympärillä.”

Spiraalien tyyppejä on monenlaisia, riippuen niitä luotaavista kaavoista. Tässä blogikirjoituksessa käsittelen kaksiulotteisia spiraaleja (huomaa, että myös erilaisia kolmiulotteisia spiraaleja on olemassa).

Arkimedeuksen spiraali

Tämä spiraali on nimetty kuuluisan kreikkalaisen matemaatikon Arkhimedeen mukaan, joka kuvasi sen ensimmäisenä kirjassaan Spiraaleja. Sitä kuvataan seuraavalla polaarisella yhtälöllä:

\, r=a+b\theta

jossa a ja b ovat reaalilukuja.

Muuttamalla parametria a spiraali kääntyy ja parametri b säätelee peräkkäisten käännösten välistä etäisyyttä.

Fermat’n spiraali

Fermat’n spiraali on parabolinen spiraali, joka noudattaa seuraavaa polaariyhtälöä:

r=\pm \theta ^{1/2}\,

Se on eräänlainen arkimedealainen spiraali.

Eulerin spiraali

Tunnetaan myös nimellä Cornun spiraali, se on käyrä, jonka kaarevuus kasvaa etäisyyden kasvaessa origosta; ”ympyränmuotoisen käyrän kaarevuus on yhtä suuri kuin säteen käänteisarvo”.

Parametrimuoto koostuu kahdesta Fresnelin intervalliyhtälöstä, jotka voidaan ratkaista vain likimääräisesti.

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,\mathrm{d}t,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,\mathrm{d}t.

Näitä integraaleja ja siten Eulerin spiraalia voidaan käyttää kuvaamaan Fresnelin diffraktion energiajakaumaa yhdellä raolla aaltoteoriassa.

Hyperbolinen spiraali

Hyperbolinen spiraali

Hyperbolinen spiraali, jonka ensimmäisenä keksi Pierre Varignon vuonna 1704, on transsendentaalinen käyrä, mikä tarkoittaa sitä, että ”kyse on analyyttisestä funktiosta, joka ei täytä polynomiyhtälöä”. Se on arkimedealaisen spiraalin vastakohta, ja sillä on siten seuraava polaarinen yhtälö:

r={\frac {a}{\theta }}

Keskipisteessä se on äärettömän kaukana navasta; θ:lle, joka alkaa 0:sta, r alkaa äärettömästä.

Lituus

Lituus on spiraali, jonka polaarinen yhtälö on:

r^2\theta = k \,

jossa k on vakio. Kulma on siis kääntäen verrannollinen säteen neliöön.

Käyrän nimesi Roger Cotes vuonna 1722 julkaistussa artikkelikokoelmassaan antiikin Rooman lituusin (kaareva auguraalisauva tai sotatrumpeti) mukaan.

Logaritminen spiraali

Logaritminen spiraali on itsesimilaarinen spiraali, joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä Descartes, mutta sitä tutki perusteellisesti Jacob Bernoulli, joka kutsui sitä ”ihmeelliseksi spiraaliksi”. Sen polaariset yhtälöt ovat

.