Sisältö

Bernoulli-kokeet

Moduulissa Diskreetit todennäköisyysjakaumat käsitellään ajatusta riippumattomien kokeiden sarjasta, jossa jokaisella kokeella on sama onnistumisen todennäköisyys \(p\). Tämä rakenne johtaa useisiin satunnaismuuttujiin, joilla on erilaiset jakaumat. Kyseisessä moduulissa koerakennetta käytetään geometrisen jakauman esittelyyn. Koska kokeilurakenne on yleisesti ottaen tärkeä, tarkastelemme sitä systemaattisesti tässä moduulissa.

Keskeinen idea on Bernoullin kokeilu, joka on nimetty Jacob Bernoullin (1655-1705) mukaan, joka oli yksi merkittävistä matemaatikoista. Bernoulli-kokeilu on satunnainen menettely, jolla voi olla yksi kahdesta lopputuloksesta, jotka merkitään mielivaltaisesti ”onnistumiseksi” ja ”epäonnistumiseksi”.

Bernoulli-kokeella on vastaava Bernoulli-satunnaismuuttuja, joka laskee onnistumisten määrän yhdessä kokeessa. Tämän satunnaismuuttujan ainoat mahdolliset arvot ovat nolla ja yksi; satunnaismuuttuja saa arvon yksi, jos onnistuminen tapahtuu, ja arvon nolla, jos epäonnistuminen tapahtuu.

Olkoon \(X\) Bernoulli-satunnaismuuttuja, jonka parametri on \(p\), missä \(0 < p < 1\). \(X\) todennäköisyysfunktio \(p_X(x)\) on \ Tämän satunnaismuuttujan keskiarvo on\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\\ &= \bigl(0 \ kertaa (1-p)\bigr) + \bigl(1 \ kertaa p\bigr)\\\ &= p.\end{align*} \(X\):n varianssi on yhtä suuri kuin \(p(1-p)\), mikä saadaan seuraavasti:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \summa (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\\ &= p(1-p).\end{align*}

Bernoullin satunnaismuuttujat syntyvät tavalla, joka esiintyy todellakin hyvin laajasti. Oletetaan, että olemme kiinnostuneita ”yksiköiden” populaatiosta, jossa tietyn ominaisuuden omaavien yksiköiden osuus on \(p\). Tässä tapauksessa ”yksikkö” voi olla ihminen, eläin, kasvi, koulu, yritys tai monia muita yksiköitä tutkittavasta populaatiosta riippuen. Otamme satunnaisotoksen yksiköistä perusjoukosta ja havaitsemme, onko kullakin yksiköllä tämä kiinnostava ominaisuus vai ei.

Jos perusjoukko on ääretön tai niin suuri, että sitä voidaan pitää käytännössä äärettömänä, otanta ilman korvaavaa otantaa on sama kuin otanta korvaavalla otannalla, ja jos jokainen yksikkö otetaan otantaan riippumattomasti kaikista muista yksiköistä, minkään yksittäisen otantaan otetun yksikkönä olevan yksikön, jolla on kyseinen ominaisuus, todennäköisyys on sama kuin \(p\).Jos ”onnistuminen” määritellään ”kiinnostavan ominaisuuden saamiseksi”, kutakin havaintoa voidaan pitää Bernoulli-kokeena, joka on riippumaton muista havainnoista ja jonka onnistumistodennäköisyys on \(p\).Tämän oivalluksen merkitys on siinä, että sitä voidaan soveltaa niin laajasti. Seuraavassa on muutamia esimerkkejä:

  • Toteutetaan poliittinen kyselytutkimus äänestäjien keskuudessa. Jokaiselta äänestäjältä kysytään, hyväksyykö hän tällä hetkellä pääministerin.
  • Hankitaan satunnaisotos kouluista. Kouluja arvioidaan sen suhteen, noudattavatko ne oppilaidensa auringolle altistumista koskevaa sopivaa politiikkaa.
  • Haastatellaan satunnaisotanta poliisihenkilöstöstä. Kunkin henkilön kohdalla arvioidaan, osoittavatko he asianmukaista tietoisuutta eri kulttuureista.
  • Satunnaisotos kuljettajista testataan huumausaineilla, ja kirjataan, onko heillä positiivinen tulos viimeaikaisesta metamfetamiinin käytöstä vai ei.
  • Jalkapalloilijoista valitaan satunnaisotos, ja heidän vammatietonsa arvioidaan sen mukaan, onko heillä ollut yli kolme aivotärähdysjaksoa.

Tämä esimerkkien tarkastelu viittaa siihen, että olemme kiinnostuneita onnistumisten määrästä yleensä, emmekä vain yksittäisten vastausten tutkimisesta. Jos meillä on \(n\) kokeita, haluamme tietää, kuinka moni niistä on onnistunut.

Seuraava sivu – Sisältö – Binomiaaliset satunnaismuuttujat

 Tämän julkaisun on rahoittanut
Australian hallituksen opetusministeriö,
Employment and Workplace Relations		 Contributors
Term of use

.