Omavektori

Eigenvektorit ovat lineaariseen yhtälösysteemiin liittyvien vektoreiden erityinen joukko (i.e., matriisiyhtälöön), joita kutsutaan joskus myös ominaisvektoreiksi, ominaisvektoreiksi tai latenttivektoreiksi (Marcus ja Minc 1988, s. 144).

Systeemin ominaisvektoreiden ja ominaisarvojen määrittäminen on äärimmäisen tärkeää fysiikassa ja tekniikassa, jossa se vastaa matriisien diagonalisointia ja tulee esiin esimerkiksi sellaisissa yleisissä sovelluksissa kuin stabiilisuusanalyysi, pyörivien kappaleiden fysiikka ja värähtelevien systeemien pienet värähtelyt, vain muutamia mainitakseni. Jokaiselle ominaisvektorille on parina vastaava niin sanottu ominaisarvo. Matemaattisesti on erotettava kaksi erilaista ominaisvektorityyppiä: vasemmanpuoleiset ja oikeanpuoleiset ominaisvektorit. Monissa fysiikan ja tekniikan ongelmissa riittää kuitenkin, että tarkastellaan vain oikeita ominaisvektoreita. Tällaisissa sovelluksissa ilman tarkennusta käytetty termi ”omavektori” voidaan siis ymmärtää viittaamaan oikeaan omavektoriin.

Neliömatriisin hajottaminen ominaissuureiksi ja omavektoreiksi tunnetaan tässä työssä ominaissuureiden hajottamisena, ja se, että tämä hajottaminen on aina mahdollista, kunhan matriisin omavektoreista koostuva matriisi on neliönmuotoinen, tunnetaan ominaissuureiden hajotuslausekkeena.

Määritellään oikea omavektori sarakevektoriksi , joka täyttää

(1)

jossa on matriisi, joten

(2)

joka tarkoittaa, että oikeilla ominaissuureilla on oltava nolladeterminantti, i.e.,

(3)

Määritellään vastaavasti vasen omavektori rivivektoriksi , joka tyydyttää

(4)

Transponoimalla kumpikin puoli saadaan

(5)

joka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

(6)

Järjestetään uudelleen, jolloin saadaan

(7)

mikä tarkoittaa

(8)

Kirjoittamalla uudelleen saadaan

			(9)
			(10)
			(11)

jossa viimeinen vaihe seuraa identiteetistä

det(A)=det(A^(T)). vasemman- ja oikeanpuoleiset ominaisarvot ovat ekvivalentteja, väite, joka ei päde ominaisvektoreille. Olkoon oikeanpuoleisten ominaisvektoreiden sarakkeiden muodostama matriisi ja vasemmanpuoleisten ominaisvektoreiden rivien muodostama matriisi. Olkoon (13) Tällöin . (14) (15) ja (16) (17) so (18) Mutta tämä yhtälö on muotoa . (19) jossa on diagonaalimatriisi, joten on oltava totta, että on myös diagonaalinen. Erityisesti, jos on symmetrinen matriisi, niin vasen ja oikea ominaisvektori ovat yksinkertaisesti toistensa transpositioita, ja jos on itseadjungoitu matriisi (eli se on hermeettinen), niin vasen ja oikea ominaisvektori ovat adjungoituja matriiseja. Eigenvektorit eivät saa olla yhtä suuria kuin nollavektori. Ominaisvektorin nollasta poikkeava skalaarikerrannainen vastaa alkuperäistä ominaisvektoria. Näin ollen, yleisyyden menettämättä, ominaisvektorit normalisoidaan usein yksikköpituisiksi. Vaikka matriisilla on aina ominaisarvoa, joista osa tai kaikki voivat olla degeneroituneita, tällaisella matriisilla voi olla 0:sta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Esimerkiksi matriisilla on vain yksi omavektori . Eigenvektorit voidaan laskea Wolfram-kielessä käyttämällä omavektoreita. Tämä komento palauttaa aina listan, jonka pituus on , joten kaikki ominaisvektorit, jotka eivät ole lineaarisesti riippumattomia, palautetaan nollavektoreina. Omavektorit ja ominaisarvot voidaan palauttaa yhdessä komennolla Eigensystem. Annetaan matriisi , jolla on omavektorit , ja ja niitä vastaavat ominaissuureet , ja , niin mielivaltainen vektori voidaan kirjoittaa (20) Sovelletaan matriisia , (21) (22) so (23) Jos , ja , seuraa siis, että (24) siten matriisin toistuva soveltaminen mielivaltaiseen vektoriin hämmästyttävällä tavalla johtaa ina vektoriin, joka on verrannollinen suurimman ominaisarvon omaavaan ominaisvektoriin.