Neil Alden Armstrong syntyi 5. elokuuta 1930 Wapakonetassa Ohiossa. Hänen vanhempansa olivat Stephen ja Viola Armstrong. Stephen Armstrong työskenteli Ohion osavaltion tilintarkastajana. Neil Armstrong oli hyvin nuoresta lähtien kiinnostunut lentämisestä, ja hän lensi ensimmäisen kerran kuusivuotiaana. Hän aloitti lentotunnit 15-vuotiaana ja sai lentäjän lupakirjan 16-vuotissyntymäpäivänään. Armstrong palveli lentäjänä Yhdysvaltain laivastossa vuosina 1949-1952, minkä jälkeen hän suoritti ilmailutekniikan kandidaatin tutkinnon Purduen yliopistossa vuonna 1955. Korean sodan aikana Armstrong lensi seitsemänkymmentäkahdeksan taistelulentoa. Hänen sotilastaustansa lentäjänä sekä koulutuksensa valmistivat häntä työskentelemään kansallisessa ilmailun neuvoa-antavassa komiteassa (National Advisory Committee for Aeronautics, NACA), joka oli kansallisen ilmailu- ja avaruushallinnon (National Aeronautics and Space Administration, NASA) edeltäjä. NACA:n palveluksessa ollessaan Armstrong työskenteli Lewis Research Centerissä Clevelandissa, Ohiossa. NASA:n perustamisen jälkeen vuonna 1959 Armstrong jatkoi työskentelyä kyseisessä virastossa. Hän osallistui NASA:n lentotutkimukseen koelentäjänä ja lensi useilla eri lentokoneilla, muun muassa huippunopealla X-15:llä. Hän suoritti myös avaruustekniikan maisterin tutkinnon Etelä-Kalifornian yliopistossa.

Vuonna 1962 Armstrong siirtyi NASAn astronauttiohjelmaan. Hänen ensimmäinen tehtävänsä oli Gemini 8, joka laukaistiin 16. maaliskuuta 1966. Armstrong oli Gemini 8 -lennon komentaja, ja hän saa kunnian siitä, että hän oli ensimmäinen henkilö, joka koskaan telakoi kaksi avaruusalusta yhteen kiertoradalla ollessaan. Vaikka Gemini 8 oli tärkeä tehtävä, Armstrong tunnetaan parhaiten Apollo 11 -lennon komentajana ja ensimmäisenä Kuuhun astuneena ihmisenä. Kun Armstrong oli astunut Kuuhun, hänet tunnetaan sanomastaan: ”Pieni askel ihmiselle, suuri harppaus ihmiskunnalle”. Hän ja hänen astronauttikollegansa Buzz Aldrin toivat ensimmäiset kuunäytteet takaisin Maahan, jolloin tiedemiehet saivat paljon lisätietoa Kuun koostumuksesta ja aurinkokunnan historiasta.

Armstrong jätti astronauttiohjelman Apollo 11 -lentomatkan jälkeen ja siirtyi NASA:n Washingtonissa sijaitsevan NASA:n pääkonttorin apulaishallintojohtajan apulaispäälliköksi (Deputy Associate Administrator for Aeronautics). Hän toimi tässä tehtävässä vain lyhyen aikaa ennen kuin erosi vuonna 1971 ja siirtyi Cincinnatin yliopiston professoriksi. Yliopistossa Armstrong opetti ilmailutekniikkaa ja teki tutkimusta vuodesta 1971 vuoteen 1979.

Vuonna 1982 Armstrongista tuli Charlottesvillessä, Virginiassa sijaitsevan Computing Technologies for Aviation, Inc:n puheenjohtaja. Hän pysyi siellä puheenjohtajana vuoteen 1992 asti. Myöhemmin Armstrongista tuli puheenjohtaja elektronisia järjestelmiä valmistavaan AIL Systems, Inc. -nimiseen yritykseen, joka sijaitsee Deer Parkissa, New Yorkissa.

Apollo 11:n jälkeen Armstrong on saanut useita tärkeitä kunnianosoituksia sekä Yhdysvalloissa että kansainvälisesti. Hän sai presidentin vapaudenmitalin vuonna 1969 sekä Robert J. Collier Trophyn. Seuraavana vuonna Armstrongille myönnettiin Robert H. Goddard Memorial Trophy, joka on nimetty miehen mukaan, jota monet pitävät amerikkalaisen rakettitekniikan isänä. Armstrong ja hänen astronauttitoverinsa sekä heidän vaimonsa tekivät Apollo 11:n jälkeen maailmankiertueen. Sen jälkeen Armstrong yritti pysytellä poissa median valokeilasta ja halusi elää rauhallisempaa elämää. Vaikka Armstrong oli lähtenyt NASA:sta opettamaan Cincinnatin yliopistoon, presidentti Richard Nixon nimitti hänet presidentin rauhanturvajoukkojen neuvoa-antavan komitean puheenjohtajaksi vuosina 1971-1973. Vuonna 1978 Armstrong sai myös kongressin avaruusmitalin. Lisäksi hän on saanut lukuisia muita kunnianosoituksia eri puolilta maailmaa.

Kokemuksensa vuoksi sekä insinöörinä että astronauttina Armstrong toimi kansallisen avaruuskomission jäsenenä vuosina 1985-1986. Presidentti Ronald Reagan nimitti Armstrongin avaruussukkula Challengerin onnettomuutta käsittelevän presidentin komission varapuheenjohtajaksi vuonna 1986. Vaikka Armstrong jättäytyi eläkkeelle astronauttikunnasta jo vuosia sitten, hänen kokemuksensa ja asiantuntemuksensa valmistivat häntä toimimaan useissa tärkeissä neuvoa-antavissa tehtävissä vuosien mittaan. Hän kuoli 25. elokuuta 2012 82-vuotiaana.