AntiderivaattaEdit

Laskennan perusteoremin mukaan integraali on antiderivaatta.

Jos otamme funktion 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

ja anti-differentiaalin, voimme sanoa, että integraali 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

on x 2 {\displaystyle x^{2}}

{\displaystyle x^{2}}

. Sanomme integraali, emme integraali, koska funktion antiderivaatta ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} }

{\displaystyle x^{2}+17}

differentioituu myös 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

. Tämän vuoksi antiderivaatan ottamisessa on lisättävä vakio C. Tätä kutsutaan epämääräiseksi integraaliksi. Tämä johtuu siitä, että kun löydetään funktion derivaatta, vakio on yhtä suuri kuin 0, kuten funktiossa f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Huomaa 0: emme voi löytää sitä, jos meillä on vain derivaatta, joten integraali on ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}}

{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Yksinkertaiset yhtälötEdit

Yksinkertainen yhtälö, kuten y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}

{\displaystyle y=x^{2}}

, voidaan integroida x:n suhteen käyttämällä seuraavaa tekniikkaa. Integroimiseksi lisätään 1 siihen potenssiin, johon x korotetaan, ja jaetaan sitten x tämän uuden potenssin arvolla. Normaaliyhtälön integrointi noudattaa siis seuraavaa sääntöä: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

The d x {\displaystyle dx}

{\displaystyle dx}

lopussa osoittaa, että integroimme x:n suhteen eli x:n muuttuessa. Tämän voidaan nähdä olevan differentioinnin käänteisluku. Integroinnissa lisätään kuitenkin vakio C. Tätä kutsutaan integrointivakioksi. Tätä tarvitaan, koska kokonaisluvun differentioiminen johtaa nollaan, joten integroimalla nolla (joka voidaan laittaa minkä tahansa integraattorin päähän) saadaan kokonaisluku C. Tämän kokonaisluvun arvo löydetään käyttämällä annettuja ehtoja.

Yhtälöt, joissa on useampi kuin yksi termi, integroidaan yksinkertaisesti integroimalla jokainen yksittäinen termi:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}{2}{2}}-2x+C}

{\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integrointi e:n ja ln:n avullaEdit

On olemassa tietyt säännöt e:n ja luonnollisen logaritmin avulla tapahtuvalle integroinnille. Tärkeintä on, että e x {\displaystyle e^{x}}

{\displaystyle e^{x}}

on itsensä integraali (johon on lisätty integrointivakio): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}e^{x}dx=e^{{x}+C}}

{\displaystyle \int _{\,}^{\\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Naturaalilogaritmi, ln, on käyttökelpoinen integroitaessa yhtälöitä, joissa on 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

. Näitä ei voi integroida yllä olevalla kaavalla (lisää yksi potenssiin, jaa potenssilla), koska lisäämällä yksi potenssiin saadaan 0, eikä jakaminen 0:lla ole mahdollista. Sen sijaan integraali 1 / x {\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}

on ln x {\displaystyle \ln x}

{\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\\,}{\frac {1}{x}}}dx= \ln x+C}}

{\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}