e

e

E:n määritelmä

Eksponentilla on erityinen perusta, jolla on erityisen tärkeä rooli matematiikassa. Yksi tapa määritellä e on koronkoron kaava

A = P(1 + r/n)nt

jossa A vastaa tilillä olevaa summaa t vuoden kuluttua pankissa, joka antaavuosikoron r korotettunan kertaa vuodessa. Esimerkiksi jos n = 4, sanotaan, että tiliä korotetaan neljännesvuosittain ja jos n = 365, tiliä korotetaan päivittäin. Mitä useammin korkoa korotetaan, sitä nopeammin korko kasvaa.

Jos annamme

r = 1 P =1 t = 1 ja x = 1/n

korkokertoimen kaavasta saadaan

f(x) = (1 + x)1/x

Voimme tulkita x:n olevan se murto-osa vuodesta, jonka korko kertyy. Jos tämä osuus on 0, voimme muodostaa seuraavan taulukon:

Tämä funktio näyttää konvergoivan johonkin lukuun, jota kutsumme e:ksi.

Jatkuvakorkoinen korko

Jatkuvasti korkoa kerryttävälle korolle meillä on kaava:

A = Pert

Inflaatio Esimerkki
Terveysalan 8 %:n inflaatiovauhdilla kuinka paljon sairausvakuutus maksaa 45 vuoden kuluttua, jos tällä hetkellä maksan 200 dollaria kuukaudessa?

Ratkaisu
On
r =.08 P =200 ja t = 45
Siten

A = 200e(.08)(45) = 7319 dollaria kuukaudessa!

Väestönkasvumallit

Yksi yksinkertaisimmista väestönkasvun malleista syntyy oletuksesta,että kasvunopeus on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Myöhemminnäytämme, että tämän oletuksen vallitessa väestö Pat aika t saadaan

P = C0 ekt

Jossa C0 on alkuväestöja k on suhteellisuusvakio.

Esimerkki

Vuonna 1960 Yhdysvaltoihin tuotiin Euroopasta kaksisataa kasvia maisemointia varten. Jos oletetaan eksponentiaalinen kasvu, jonka kasvuvakio on 0,1,kuinka monta kasvia on Yhdysvalloissa vuoteen 2050 mennessä?

Ratkaisu

Lasketaan, että t = 0 vastaa vuotta1960. Tällöin C0 = 200. Eksponentiaalisen kasvun malli antaa

P = 200 e0.1t

Jatkossa vuosi 2050 vastaa t = 90. Eli

P(90) = 200 e(0.1)(90) = 1,620,616

Vuoteen2050 mennessä näitä ulkomaisia tehtaita on 1,620,616. Kuvaaja on esitetty alla.

Exponentiaalisessa mallissa on vakava virhe. Siinä oletetaan, että väestö jatkaa kasvuaan tilasta ja ravinteista riippumatta. Realistisempi malli ottaa huomioon sen, että on olemassa kantokyky eli populaatio, jota ei voi ylittää. Tätä mallia kutsutaan logistiikkasekvenssiksi ja se saadaan

jossa a, b ja kovat positiiviset vakiot.

Esimerkki

Maailman ihmisväestöä (miljardeina ihmisinä) voidaan mallintaa logistisella kasvukäyrällä

jossa t on vuosi vuodesta 1970 lähtien. Mikä on väestön määrä vuonna2010? Mikä on maapallon ihmisen kantokyky?

Ratkaisu

Väestön määrän määrittämiseksi vuonna 2010 nähdään, että vuosi 2010 vastaa t = 40. Yhdistämme tämän t:n ja käytämme laskinta saadaksemme

Vuonna2010 maapallolla on noin 8,8 miljardia ihmistä.

Kantavuuskapasiteetin selvittämiseksi etsimme väestömäärän rajan, kun aika lähestyy ääretöntä. Yhtälöstä nähdään, että eksponentiaalinen termi on 0, koska eksponentti on negatiivinen. Näin ollen kantokyky L on

.