Métodos verticales

Modelos matriciales de población

Suponemos un modelo de tiempo discreto en el que los pasos de tiempo representan un ciclo de alimentación-oviposición del mosquito sobre el que la probabilidad de supervivencia es (\(\phi\)). En la literatura esto se relaciona con la probabilidad de supervivencia diaria (\(p\)) mediante

$$p^{d} = \phi$$
(1)

donde \(d\) es la duración del ciclo en días.

Matriz estructurada por edades Primero describimos la dinámica de la población de mosquitos adultos en forma de matriz general estructurada por edades:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(2)

donde \f(f_{i}\) es la fecundidad per cápita y \f(\phi_{i}\) es la probabilidad de supervivencia (por ciclo) de una clase de edad i. Esta es la forma correcta para los mosquitos bajo la suposición comúnmente hecha de que no hay senescencia (supervivencia independiente de la edad).

Bajo ciertas condiciones en las que hay una clase de edad más antigua \\ m\) que no sobrevive (\(\phi_{m} = 0\); ‛Matriz de Leslie’) o cuando la clase de edad más antigua representa a todos los animales de esta edad y mayores con la misma probabilidad de supervivencia (ver ; ‛Matriz de Usher’) la matriz infinita en (Eqn. 2) puede tratarse como finita de la siguiente manera:

En ambos casos, se aplican ciertos resultados de la teoría de la población estable con sólo suposiciones débiles , sobre todo que la estructura de la población a largo plazo se alcanza independientemente de las condiciones iniciales (es ‛ergódica’ ). El número de individuos de la clase de edad i en esta estructura de edad estable viene dado por:

$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \d\\limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k}} }$$
(4)

donde \(\lambda\) es la tasa de crecimiento de la población.

Los modelos convencionales de mosquitos suelen suponer que las probabilidades de supervivencia (independientes de la edad) (\phi\) de las clases de edad \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\) son iguales, y que la fertilidad es independiente de la edad \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\). Otra suposición común es que las clases de edad de los mosquitos tienen la misma duración (probablemente la duración del ciclo de oviposición o gonotrófico). En la distribución de edad estable, el número de la clase de edad i se reduce a :

$$x_{i} = x_{0} \left( {\frac{\phi }{lambda }} \right)^{i}$$
(5)

Así que si además la población es estacionaria (\(\lambda = 1)\\nla relación entre las clases de edad adyacentes viene dada por:

$\frac{{x_{i} }}{{x_{i – 1}} }} = \phi$$
(6)

Muchos estudios sobre mosquitos han utilizado este resultado, al menos de forma implícita.

Matriz estructurada por etapas Una formulación alternativa es un modelo estructurado por etapas , en el que los individuos se clasifican por una etapa de la vida o un tamaño, en lugar de por una edad. A diferencia de un modelo de Leslie, los modelos clasificados por etapas permiten ‛auto-bucles’ en los que un estado ‛transición’ puede conducir a sí mismo. Los marcadores fisiológicos de edad que pueden utilizarse en la literatura sobre mosquitos son descritos por Silver . El marcador más frecuente de la etapa que se ha utilizado es la condición de puesta de huevos del mosquito hembra, más simplemente (y más comúnmente) si el mosquito ha puesto previamente (es paroso) o no ha puesto huevos (es nulo). Para un modelo nulíparo/paroso:

$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(7)

Para una población en equilibrio tenemos (\frac{{x_{p}}{x_{0}} = \frac{phi }{1 – \phi }\) (cf. Ecuación 6) o

$$\phi = \frac{{x_{p}}{x_{0}} {{x_{0} + x_{p}} }}$
(8)

Un modelo estructurado en etapas puede no tener la propiedad ‛ergódica’, es decir, su estado a largo plazo puede depender de las condiciones iniciales.

Matriz del estado de la enfermedad Tras la infección inicial, el parásito de la malaria se desarrolla durante el ‛periodo de incubación extrínseca’ (PEI) para hacer que el mosquito huésped se infecte con esporozoitos. La infectividad del mosquito puede verse como un marcador bruto de la edad, o caracterizarse explícitamente por su estado de portador de la enfermedad. Para esto último, y para demostrar la conexión con otros enfoques anteriores, escribimos el proceso en una forma matricial de tiempo discreto (compárese con las ecuaciones anteriores. 2 y 7, en las que los mosquitos se clasificaban por su edad o paridad):

$$\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left( t \right)$$
(9)

donde \(S\),\(E\),\(I\) denotan mosquitos susceptibles, expuestos (infectados pero no infecciosos) e infecciosos; \(\omega\) es la probabilidad de infección (el mosquito susceptible pasa a infectado); \(\gamma\) es la probabilidad de que un mosquito infectado pase a un estado infeccioso; \(xi\) es la probabilidad de que un mosquito sobreviva al EIP, que se supone igual para todas las clases, y \(n\) es el EIP en días.

Nótese que \(\xi\) puede escribirse en términos de supervivencia diaria como \(p^{n}\).

Subrayamos que la Ecuación 9 está muy simplificada: el término de probabilidad de infección \(\omega\) es una función de otros parámetros, incluyendo en particular el número de huéspedes infecciosos como los humanos. La ecuación es claramente parte de un sistema de enfermedad más amplio que incluye también la dinámica de los huéspedes vertebrados. Se ha estudiado una forma mucho más completa de este sistema de tiempo discreto.

Podemos examinar el sistema cuando, por supuesto, está en equilibrio, por lo que \N(underset{{subir0,3em{hbox{{smash{scriptstyle-}$}{x} \izquierda( {t + n} \ ~ derecha) = \underset{subir0,3em{hbox{{{smash{{scriptstyle-}$}{x} | derecha) = |underset{subir0,3em{hbox{{smash{scriptstyle-}$}{x}^{*}), digamos. Si la transición de infectado a infeccioso es cierta (\(\gamma = 1\)) entonces la tercera fila de la Ecuación 9 da como resultado que \(\xi \left( {x_{E}^ *} + x_{I}^ *} \right) = x_{I}^ *}) por lo que:

$$xi = \frac{x_{I}^ *} }}{{{left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}$$
(10)

El lado derecho puede escribirse de forma equivalente y más familiar como \(s/Y\). Aquí, \(s\) es la proporción de infecciosos (la proporción de mosquitos que contienen esporozoitos en las glándulas salivales) y \(Y\) es la proporción de mosquitos infectados.

Es mucho más común en la literatura utilizar la forma de tiempo continuo de las ecuaciones dinámicas para describir el sistema de estado de la enfermedad, en lugar de la forma de tiempo discreto. Utilizando la primera, varios autores proporcionan expresiones para la tasa de esporozoítos \(s\) que se escribe como :

$$frac{acX}{g + acX}{ \exp }left( { – gn} \right)$$

donde \(a\) es la tasa de picadura, \(g\) es la tasa de mortalidad continua, \(c\) es la probabilidad de que un mosquito no infectado se infecte tras picar a un humano infectado y \(X\) es la proporción de humanos infectados. El término de la izquierda es la proporción de mosquitos infectados (\(Y\)) y el término de la derecha es la probabilidad de sobrevivir al EIP (\(\xi\)), de modo que de nuevo \(s = Y\xi\).

Estimación

Esta sección detalla el proceso de estimación de los modelos de población anteriores. Abreviaremos algunos de los métodos de estimación (LRH, LRV, JS o FF) como se explica más adelante.

Proporción de parous Una muestra transversal de la estructura de etapas con un supuesto de estabilidad da una estimación de \(\phi\) (Ecuación 8). Otra forma de ver esto que se utiliza a menudo puede remontarse a . Supongamos que todas las clases de edad se muestrean de forma representativa y la supervivencia es constante. Sea \(f\) el número de ciclos antes de que el mosquito empiece a poner huevos, de modo que el número esperado de nulíparas es \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }) y los números esperados en las clases de edad mayores, ahora parcas, son \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\). Entonces la proporción de nulíparas es

$$\frac{{x_{n}} {{x_{n}} + x_{f + 1} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{x_{n} }} {{x_{n}} y x_{f + 2}} {{x_{n}} {{x_{n}} y \cdots }} {{x_{n}}} {{x_{n}} y la de la izquierda.} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}} = \left( {1 – \phi } \right)$$
(11)

De esta forma la proporción parous es una estimación de la tasa de supervivencia a lo largo de un ciclo.

También es posible utilizar un enfoque de series temporales . Suponiendo la presencia de un error de muestreo en las series temporales de las estimaciones de los parous \N(X_{p} |derecha),X_{p} \izquierda( 2 derecha), \ldots\) y nulíparos \ ~ mosquitos (X_{0} \izquierda( 1 derecha),X_{0} \izquierda( 2 derecha), \ldots\), entonces \_(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) puede resolverse por mínimos cuadrados para una estimación de \phi\).

Enfoque de regresión (LRV) Partiendo de la relación \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\) cuando la población es estacionaria (ver Ecn. 5) y tomando los logaritmos de los valores esperados, \({ \log }\left( {E\left} \right) \approx E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\\). Con errores normalmente distribuidos \({ \log }left( {x_{i} } right) \approx { \log }left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }left( \phi \right) + \varepsilon) que puede ser resuelto por regresión, y el coeficiente estimado puede ser retrotransformado para una estimación de \(\phi\). El método se describe, por ejemplo, en .

Estimación parasitológica Reinterpretamos un argumento conciso para estimar \(\xi\) (y por tanto \(p\)) de la siguiente manera. Una muestra de mosquitos capturados en la naturaleza a \(t\) se evalúa para la proporción infecciosa, para dar la ‛tasa inmediata de esporozoitos’. Otra muestra de la misma población se mantiene viva durante la duración del EIP (\(n\)), y también se evalúa la proporción infecciosa, ahora en \(t + n\) (la «tasa de esporozoítos retardada»). Suponemos que no hay pérdidas, ya que los mosquitos están protegidos de las fuentes naturales de mortalidad después de \(t\), y por supuesto no hay senescencia. Suponemos además que todos los mosquitos infectados (pero aún no infecciosos) pasan a ser infecciosos en la muestra \(t + n\). Los mosquitos infecciosos en \(t + n\) se componen de los infecciosos en \(t\), más los infectados en \(t\) y que se convierten en infecciosos a lo largo del EIP : \(x_{I} \izquierda( {t + n} derecha) = x_{I} izquierda( t \\ derecha) + x_{E} \izquierda( t \ derecha)\N-). Por lo tanto, una estimación del número de infectados, pero no infecciosos en \ t\) es \hat{x}_{E} \izquierda( t \ derecha) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \izquierda( t \ derecha)\N-). La proporción de infecciosos: infectados en absoluto es entonces

$$\frac{{x_{I} izquierda( t \\ derecha)}}{{x_{I} izquierda ( t \\ derecha) + \hat{x}_{E} \izquierda( t \ derecha)}} = \frac{x_{I}} \izquierda( t \ derecha)}}{x_{I} \left( {t + n} \right)}}$$
(12)

Este ratio puede relacionarse con la supervivencia: como se ha mostrado anteriormente (Ecuación 10), el ratio (\(s/Y\)) es la probabilidad de sobrevivir al EIP (\xi\), a partir de la cual se puede encontrar \(p\) o \phi\). Saul et al. y sus seguidores modificaron este enfoque para estimar la supervivencia a lo largo de un ciclo de alimentación en condiciones ‛naturales’, utilizando parámetros más factibles de estimar, en particular las proporciones de infectados en una captura con picadura y de infectados en una captura en reposo (alimentada).

Macdonald presentó una serie de estimaciones heurísticas conjeturadas a partir de los datos de infección de otros autores, esencialmente resolviendo un análogo de la Ecuación 10.

Métodos horizontales

Recaptura de marcas

Se hace un seguimiento en el tiempo de cohortes de mosquitos marcados de alguna manera y se analizan los tiempos de recuperación, y quizás de re-liberación. La población marcada está bajo el control del investigador, incluyendo los tiempos de entrada de los nuevos mosquitos marcados. Los mosquitos pueden ser sacrificados en el momento de la captura, o re-sueltos, con o sin nuevas marcas. Para estimar los parámetros de supervivencia se utiliza un modelo de supervivencia de los mosquitos liberados a lo largo del tiempo y sus probabilidades de recaptura. A diferencia de los métodos verticales, no se asume que la población haya alcanzado el equilibrio o una estructura de edad estable.

La mayoría de los estudios de mosquitos de recaptura de marcas (MR) son experimentos de liberación única. Se libera una muestra de mosquitos marcados de un tamaño \(m_{0}\ y se registran los números recapturados en momentos futuros. Una minoría de los experimentos de RM son de liberación múltiple. En una ocasión de recaptura, se liberan más mosquitos. Pueden ser mosquitos marcados previamente o recién marcados.

Estimación

Liberación simple Sea \(m_{0}\) el número de mosquitos marcados en el momento 0 y \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots) el número de los recapturados en momentos posteriores. Sea \(\pi\) la probabilidad (constante) de recaptura en cualquier ocasión. El número esperado de recapturas en el momento k es (véase pero con una notación diferente):

$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$
(13)

Con mucho, el enfoque más común para estimar \\i(\phi\) es expresar la Ecn. 13 como una ecuación de regresión a partir de la cual se puede estimar \(\phi\) :

$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \approx log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$
(14)

con una unidad añadida a \(m_{k}\) para asegurar la computabilidad si surgen recuentos cero . Podría utilizarse una regresión sin el término medio (véase, por ejemplo, ), que podría ser satisfactoria si los mosquitos se vuelven a liberar, o si \(\pi\) es pequeño.

Liberación múltiple Existen varios métodos que, aunque a menudo están dirigidos a estimar la abundancia, también pueden estimar la supervivencia. Estos métodos son relativamente complejos y remitimos a los lectores a otros lugares para obtener detalles completos, por ejemplo. A continuación se describen brevemente los tres que hemos encontrado:

(i) La función principal del método de Fisher-Ford (FF) es estimar el tamaño de la población. Sin embargo, contiene una estimación asociada de la supervivencia que ha sido utilizada por algunos autores. El método asume que la supervivencia es independiente del tiempo y utiliza el tiempo medio de supervivencia observado de los individuos marcados que sobreviven hasta la recaptura, y los tiempos medios de supervivencia esperados para los liberados dado \(\phi\) . Para el caso más sencillo de un único tiempo de recaptura \(k\) que captura un total de \(m_{k}) mosquitos previamente marcados (véase para una mayor extensión a las recapturas múltiples), y con \(r_{j}\) denotando el número de estos liberados j días antes, el tiempo medio de supervivencia observado es:

$$\frac{{{suma{nolimits_{j}} {r_{j} j} }}{{m_{k}} Considerando por \N(a_{j}) el número de mosquitos recién liberados \N(j) días antes del momento de muestreo \N(k), el tiempo medio de supervivencia esperado (de los mosquitos liberados que sobreviven hasta el momento \N(k)) es:

$$frac{{suma de límites_{j} {a_{j}} \phi^{j} j} {{suma de límites_{j} {a_{j}} \phi^{j} } }}$

Se ajusta una estimación de \phi\ que iguala el tiempo medio de supervivencia observado y el esperado.

(ii) El método Jolly-Seber (JS) utiliza múltiples liberaciones y recapturas para estimar la supervivencia (dependiente del tiempo) (y otros parámetros, especialmente la abundancia) y es de uso común por los ecologistas . La esencia del método consiste en estimar la supervivencia a partir de las estimaciones de los tamaños poblacionales marcados \(M_{t}) y \(M_{t + 1}} en momentos adyacentes, es decir, \(\hat{\phi } = \frac{M_{t + 1}} {{M_{t}}). Las estimaciones de \(M_{t}} se obtienen suponiendo que la tasa de recaptura futura de los animales ya marcados y no capturados en el momento \(t\) es la misma que la tasa de recaptura futura de los animales marcados y liberados en el momento \(t\). Según el modelo básico, la tasa de supervivencia puede variar con el tiempo, pero puede modificarse para permitir restricciones (por ejemplo, supervivencia independiente del tiempo) y hacerlo puede mejorar la precisión de las estimaciones. En los estudios sobre mosquitos se suele aplicar el método JS en su totalidad, aunque el modelo contiene un componente (el modelo «Cormack-Jolly-Seber») que es suficiente para estimar la supervivencia.

(iii) Saul desarrolló sus propias estimaciones que implican soluciones algebraicas a las ecuaciones MR. El método supone una supervivencia independiente del tiempo.

Otros métodos de estimación

Otros métodos eran poco comunes y no hacemos más que mencionarlos. Entre ellos se incluye la tasa de disminución de la población en condiciones de reclutamiento cero; el método ‛Manly-Parr’ , aplicado por (aunque no se dio ninguna estimación de supervivencia para este método); y enfoques informales (por ejemplo, ajustando una curva de supervivencia gráficamente ).

Búsqueda y meta-análisis

Para captar las estimaciones de supervivencia los autores desarrollaron una estrategia de búsqueda sistemática y la ejecutaron en las siguientes bases de datos: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) y Scopus. Las búsquedas se realizaron en noviembre de 2017 sin limitaciones de fecha o idioma. El alcance indicó que Web of Science daría los resultados más relevantes, por lo que se utilizó una estrategia más amplia que las demás. Estrategia de búsqueda en Web of Science: (Mosquito* o anophel*)TI Y (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or «life cycle*»)TS. Estrategia de búsqueda en Environment Complete, Global Health, Scopus y PubMED: (Mosquito* o anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or «life cycle*)TI.

Se excluyeron entonces los estudios no publicados o que no estaban en inglés, las intervenciones que pudieran afectar a la supervivencia, por ejemplo insecticida; estudios sin fuentes naturales de mortalidad (estudios de laboratorio), excepto los estudios que utilizan la «tasa de esporozoítos inmediata: retardada» (véase más arriba), que sólo supone que no hay mortalidad en puntos de tiempo futuros, más allá del punto de tiempo de la estimación; estudios que reanalizan los datos con un modelo dependiente de la edad; estudios metodológicos/simulación; documentos de revisión u otras estimaciones duplicadas; y estudios que no proporcionan estimaciones. En los casos en los que sólo se proporcionó una proporción de paridad, se trató como una estimación de la probabilidad de supervivencia del ciclo.

Se planeó llevar a cabo meta-análisis con estudios ponderados por la ponderación de la varianza inversa. Sin embargo, la mayoría de los estudios verticales y de marcaje de liberación única no proporcionaron estimaciones de varianza o métricas relacionadas (intervalos de confianza, etc.). Por lo tanto, se llevaron a cabo meta-análisis no ponderados. Las tasas de supervivencia diarias se transformaron en log(odds) antes del metanálisis y luego se volvieron a transformar para su presentación. El análisis se realizó en R 3.5 con el paquete metafor.