AntiderivadaEditar

Por el teorema fundamental del cálculo, la integral es la antiderivada.

Si tomamos la función 2 x {\displaystyle 2x}

{displaystyle 2x}

, por ejemplo, y la antiderivamos, podemos decir que una integral de 2 x {\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}

es x 2 {\displaystyle x^{2}}

{pantalla x^{2}}

. Decimos una integral, no la integral, porque la antiderivada de una función no es única. Por ejemplo, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17}

{\displaystyle x^{2}+17}

también se diferencia a 2 x {\displaystyle 2x}

{pantalla 2x}

. Debido a esto, al tomar la antiderivada hay que añadir una constante C. Esto se llama una integral indefinida. Esto se debe a que cuando se encuentra la derivada de una función, las constantes son iguales a 0, como en la función f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\},}

{displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\},}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

{displaystyle f'(x)=10x+9+0,}

. Obsérvese el 0: no podemos encontrarlo si sólo tenemos la derivada, por lo que la integral es ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\\Ndx=5x^{2}+9x+C}

{\displaystyle \int (10x+9)\\Ndx=5x^{2}+9x+C}

.

Ecuaciones simplesEditar

Una ecuación simple, como y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}

{displaystyle y=x^{2}}

, se puede integrar con respecto a x utilizando la siguiente técnica. Para integrar, se suma 1 a la potencia a la que se eleva x, y luego se divide x por el valor de esta nueva potencia. Por lo tanto, la integración de una ecuación normal sigue la siguiente regla: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\\}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}{n+1}+C}

{{span class=

La d x {{span class=»#»#x»}}

{displaystyle dx}

al final es lo que muestra que estamos integrando con respecto a x, es decir, al cambiar x. Esto puede verse como la inversa de la diferenciación. Sin embargo, hay una constante, C, que se añade al integrar. Esto se llama la constante de integración. Esto es necesario porque la diferenciación de un entero resulta en cero, por lo tanto, la integración de cero (que se puede poner en el extremo de cualquier integrando) produce un entero, C. El valor de este entero se encontraría mediante el uso de las condiciones dadas.

Las ecuaciones con más de un término se integran simplemente integrando cada término individual:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 – 2 x + C {\displaystyle \\int _{\\\\},x^{2}+3x-2dx=int _{{3}}+{3x^2}dx+int _{{2}}3xdx-int _{{3}}2dx={frac {{3}}+{3x^2}}+C

{displaystyle |int _{\\},}x^{2}+3x-2dx=int _{\},}^{2}dx+int _{\},}^{3xdx-int _{\},}2dx={frac {x^{3}}+{\frac {3x^{2}}-2x+C}

Integración con e y lnEdit

Hay ciertas reglas para integrar usando e y el logaritmo natural. La más importante es que e x {designa e^{x}}.

{displaystyle e^{x}}

es la integral de sí misma (con la adición de una constante de integración): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{,}^{\\}e^{x}dx=e^{x}+C}

{{displaystyle \\int _{,}^{,}e^{x}dx=e^{x}+C}

El logaritmo natural, ln, es útil cuando se integran ecuaciones con 1 / x {\displaystyle 1/x}

{publicar estilo 1/x}

. Estos no se pueden integrar utilizando la fórmula anterior (sumar uno a la potencia, dividir por la potencia), porque la adición de uno a la potencia produce 0, y una división por 0 no es posible. En su lugar, la integral de 1 / x {\displaystyle 1/x}

{{displaystyle 1/x}

es ln x {{displaystyle \ln x}

{{{displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {{displaystyle \textstyle \int _{{,}^{\\}{frac {1}{x}dx=\ln x+C}

{{displaystyle \\textstyle \int _{\,}^{\\\\\\\\\\\\\},}{frac {1}{x}}dx=\ln x+C}