e

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Definición de e

Hay una base especial de una exponencial que juega un papel particularmente importante en matemáticas. Una forma de definir e es con la fórmula del interés compuesto

A = P(1 + r/n)nt

donde A corresponde a la cantidad en la cuenta después de t años en un banco que da un tipo de interés anual r compueston veces al año. Por ejemplo, si n = 4 decimos que la cuenta se compone trimestralmente y si n = 365 entonces la cuenta se compone diariamente. Cuanto más a menudo se componga la cuenta, más rápido crecerá el interés.

Si dejamos que

r = 1 P =1 t = 1 y x = 1/n

la fórmula del interés compuesto da

f(x) = (1 + x)1/x

Podemos interpretar x como la fracción de año en que se compone el interés. Si esta fracción es 0 entonces podemos construir la siguiente tabla:

Esta función parece converger a un número, que llamamos e.

Interés continuo

Para el interés continuamente compuesto, tenemos la fórmula:

A = Pert

Ejemplo de inflación
Con una tasa de inflación del 8% en el sector sanitario, ¿cuánto costará el seguro de salud dentro de 45 años si actualmente pago 200 dólares al mes?

Solución
Tenemos
r =.08 P =200 y t = 45
Así que

A = 200e(.08)(45) = ¡7319 dólares al mes!

Modelos de crecimiento de la población

Uno de los modelos más simples para el crecimiento de la población surge de la suposición de que la tasa de crecimiento es proporcional a la población actual. Más adelante mostraremos que, bajo este supuesto, la población Pat tiempo t viene dada por

P = C0 ekt

Donde C0 es la población inicialy k es una constante de proporcionalidad.

Ejemplo

En 1960 se trajeron doscientas plantas de Europa a los EE.UU. para el paisajismo. Suponiendo un crecimiento exponencial con una constante de crecimiento de 0,1,¿cuántas plantas habrá en Estados Unidos en el año 2050?

Solución

Dejamos que t = 0 corresponde al año1960. Entonces C0 = 200. El modelo de crecimiento exponencial da

P = 200 e0,1t

A continuación, 2050 corresponde a t = 90. De modo que

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1.620.616

Habrá 1.620.616 de estas plantas extranjeras en el año2050. El gráfico se muestra a continuación.

El modelo exponencial tiene un grave defecto. Supone que la población seguirá creciendo sin tener en cuenta el espacio y los nutrientes. Un modelo más realista tendrá en cuenta el hecho de que existe una capacidad de carga, es decir, una población que no puede ser superada. Este modelo se llama secuencia logística y viene dado por

donde a, b y k son constantes positivas.

Ejemplo

La población humana (en miles de millones de personas) en la tierra puede modelarse mediante la curva de crecimiento logístico

donde t es el año desde 1970. ¿Cuál será la población en 2010? ¿Cuál es la capacidad de carga humana de la Tierra?

Solución

Para determinar la población en 2010, vemos que 2010 corresponde a t = 40. Introducimos esta t y utilizamos una calculadora para obtener

Habrá aproximadamente 8.800 millones de personas en la tierra en el año2010.

Para hallar la capacidad de carga, encontramos el límite de la población a medida que el tiempo se acerca al infinito. En la ecuación vemos que el término exponencial llega a 0, ya que el exponente es negativo. Por lo tanto, la capacidad de carga L es