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Ensayos de Bernoulli

El módulo Distribuciones discretas de probabilidad analiza la idea de una secuencia de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito \(p\). Esta estructura conduce a una serie de variables aleatorias con diferentes distribuciones. En ese módulo, la estructura de los ensayos se utiliza para introducir la distribución geométrica. Debido a la importancia general de la estructura de ensayos, la examinamos sistemáticamente en este módulo.

La idea central es un ensayo de Bernoulli -llamado así por Jacob Bernoulli (1655-1705), que fue uno de una familia de prominentes matemáticos. Un ensayo de Bernoulli es un procedimiento aleatorio que puede tener uno de dos resultados, que se denominan arbitrariamente «éxito» y «fracaso».

Un ensayo de Bernoulli tiene su correspondiente variable aleatoria de Bernoulli, que cuenta el número de éxitos en un solo ensayo. Los únicos valores posibles de esta variable aleatoria son el cero y el uno; la variable aleatoria toma el valor uno si se produce un éxito, y el valor cero si se produce un fracaso.

Déjese que \ (X\) sea una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro \ (p\), donde \ (0 < p < 1\). La función de probabilidad \(p_X(x)\Nde \Nla variable aleatoria está dada por\Nla media de esta variable aleatoria es\Ncomienzo{align*}mu_X = \mathrm{E}(X) &= \Nsuma x\, p_X(x) \\N – &= \Nbigl(0 \N – (1-p)\N -bigr) + \Nbigl(1 \N – p\N -bigr)\N – &= p.\La varianza de X es igual a p(1-p), resultado que se obtiene de la siguiente manera:\bin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \b= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p\bigl(p+(1-p)\bigr).\N – fin {align*}

Las variables aleatorias de Bernoulli surgen de una manera que se da muy ampliamente. Supongamos que estamos interesados en una población de ‘unidades’, en la que la proporción de unidades con una característica particular es \(p\). En este caso, una «unidad» puede ser una persona, un animal, una planta, una escuela, una empresa o muchas otras entidades, según la población estudiada. Tomamos una muestra aleatoria de unidades de la población, y observamos si cada unidad tiene o no esta característica de interés.

Si la población es infinita, o tan grande que podemos considerarla como efectivamente infinita, entonces el muestreo sin reemplazo es lo mismo que el muestreo con reemplazo, y si cada unidad se muestrea independientemente de todas las demás, la probabilidad de que cualquier unidad muestreada tenga la característica es igual a \(p\).Si definimos «éxito» como «tener la característica de interés», entonces cada observación puede considerarse como un ensayo Bernoulli, independiente de las demás observaciones, con una probabilidad de éxito igual a \(p\).La importancia de esta idea es que es muy aplicable. He aquí algunos ejemplos:

  • Se lleva a cabo una encuesta política entre los votantes. Se pregunta a cada votante encuestado si aprueba o no al Primer Ministro.
  • Se obtiene una muestra aleatoria de colegios. Se evalúa si las escuelas cumplen con una política adecuada de exposición al sol para sus alumnos.
  • Se entrevista a una muestra aleatoria de personal policial. Se evalúa si cada persona muestra un conocimiento adecuado de las diferentes culturas.
  • Se realiza una prueba de drogas a una muestra aleatoria de conductores y se registra si dan o no positivo en el consumo reciente de metanfetamina.
  • Se elige una muestra aleatoria de futbolistas y se evalúa su historial de lesiones, según hayan tenido o no más de tres episodios de conmoción cerebral.

La consideración de estos ejemplos sugiere que nos interesa el número de aciertos, en general, y no sólo el examen de respuestas individuales. Si tenemos \N(n\) ensayos, queremos saber cuántos de ellos son éxitos.

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 Esta publicación está financiada por el
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