Integral

AntiderivativRediger

I henhold til den grundlæggende sætning i regning er integralet antiderivativ.

Hvis vi tager funktionen 2 x {\displaystyle 2x}

, for eksempel, og antidifferentierer den, kan vi sige, at et integral af 2 x {\displaystyle 2x}

er x 2 {\displaystyle x^{2}}

. Vi siger et integral, ikke integralet, fordi antiderivaten af en funktion ikke er entydig. For eksempel: x 2 + 17 {\displaystyle x^{{2}+17}

differentierer også til 2 x {\displaystyle 2x}

. På grund af dette skal der, når man tager antiderivaten, tilføjes en konstant C. Dette kaldes et ubestemt integral. Dette skyldes, at når man finder den afledte af en funktion, er konstanterne lig med 0, som i funktionen f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{{2}+9x+15\,}

. f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}

. Bemærk 0’et: vi kan ikke finde det, hvis vi kun har den afledte, så integralet er ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}

.

Simple ligningerRedigér

En simpel ligning, som f.eks. y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}}

, kan integreres med hensyn til x ved hjælp af følgende teknik. For at integrere tilføjer man 1 til den potens, som x er hævet til, og dividerer derefter x med værdien af denne nye potens. Derfor følger integrationen af en normal ligning denne regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{{n+1}}}{n+1}}}+C}

Den d x {\displaystyle dx}

til sidst er det, der viser, at vi integrerer med hensyn til x, dvs. mens x ændrer sig. Dette kan ses at være det omvendte af differentiering. Der er dog en konstant, C, der tilføjes, når man integrerer. Dette kaldes integrationskonstanten. Dette er nødvendigt, fordi differentiering af et heltal resulterer i nul, og derfor giver integration af nul (som kan sættes på enden af enhver integrant) et heltal, C. Værdien af dette heltal kan findes ved hjælp af givne betingelser.

Sammenligninger med flere termer integreres simpelthen ved at integrere hver enkelt term:

∫ x 2 + 3 x – 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x – ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 2 – 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}}{2}}}-2x+C}

Integration med e og lnEdit

Der er visse regler for integration med e og den naturlige logaritme. Det vigtigste er, at e x {\displaystyle e^{x}}

er integralet af sig selv (med tilføjelse af en integrationskonstant): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Den naturlige logaritme, ln, er nyttig ved integration af ligninger med 1 / x {\displaystyle 1/x}

. Disse kan ikke integreres ved hjælp af ovenstående formel (adder 1 til potensen, divider med potensen), fordi addition af 1 til potensen giver 0, og en division med 0 er ikke mulig. I stedet kan integralet af 1 / x {\displaystyle 1/x}

er ln x {\displaystyle \ln x}

: ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \textstyle \textstyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}