Indhold

Bernoulliforsøg

Modulet Diskrete sandsynlighedsfordelinger behandler ideen om en sekvens af uafhængige forsøg, hvor hvert forsøg har den samme sandsynlighed for succes \(p\). Denne struktur fører til en række tilfældige variabler med forskellige fordelinger. I dette modul bruges forsøgsstrukturen til at introducere den geometriske fordeling. På grund af forsøgsstrukturens generelle betydning undersøger vi den systematisk i dette modul.

Den centrale idé er et Bernoulli-forsøg – opkaldt efter Jacob Bernoulli (1655-1705), som var en del af en familie af fremtrædende matematikere. Et Bernoulli-forsøg er en tilfældig procedure, der kan have et af to udfald, som vilkårligt betegnes som “succes” og “fiasko”.

Et Bernoulli-forsøg har en tilsvarende Bernoulli-vilkårlig variabel, som tæller antallet af succeser i et enkelt forsøg. De eneste mulige værdier af denne tilfældige variabel er nul og et; den tilfældige variabel får værdien et, hvis der er succes, og værdien nul, hvis der er fiasko.

Lad \(X\) være en Bernoulli-tilfældig variabel med parameter \(p\), hvor \(0 < p < 1\). Sandsynlighedsfunktionen \(p_X(x)\) for \(X\) er givet ved\Middelværdien af denne tilfældige variabel er\begin{align*}\mu_X = \mathrm{E}(X) &= \sum x\, p_X(x) \\ &= \bigl(0 \ gange (1-p)\bigr) + \bigl(1 \ gange p\bigr)\\ &= p.\end{align*}Variansen af \(X\) er lig med \(p(1-p)\), et resultat, der opnås på følgende måde:\begin{align*}\mathrm{var}(X) &= \sum (x-\mu_X)^2 p_X(x) \\ &= (0-p)^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p(1-p)\bigl(p+(1-p)\bigr) \\ &= p(1-p).\end{align*}

Bernoulli-tilfældsvariabler opstår på en måde, der faktisk forekommer meget hyppigt. Lad os antage, at vi er interesseret i en population af “enheder”, hvor andelen af enheder med en bestemt egenskab er \(p\). Her kan en “enhed” være en person, et dyr, en plante, en skole, en virksomhed eller mange andre enheder, alt efter hvilken population der undersøges. Hvis populationen er uendelig eller så stor, at vi kan betragte den som uendelig, er stikprøveudtagning uden udskiftning det samme som stikprøveudtagning med udskiftning, og hvis hver enhed udtages uafhængigt af alle de andre, er sandsynligheden for, at en enkelt enhed i stikprøven har den pågældende egenskab, lig med \(p\).Hvis vi definerer “succes” som “at have den pågældende egenskab”, kan hver observation betragtes som et Bernoulli-forsøg, uafhængigt af de andre observationer, med en sandsynlighed for succes lig med \(p\).Denne indsigt er vigtig, fordi den er så bredt anvendelig. Her er nogle eksempler:

  • Der gennemføres en politisk meningsmåling blandt vælgerne. Hver enkelt af de adspurgte vælgere spørges, om de på nuværende tidspunkt godkender eller ikke godkender statsministeren.
  • Der udtages en tilfældig stikprøve af skoler. Skolerne vurderes med hensyn til, om de overholder en passende politik for elevernes eksponering for sollys.
  • Et tilfældigt udvalg af politipersonale interviewes. Hver person vurderes med hensyn til, om de udviser passende bevidsthed om forskellige kulturer.
  • Et tilfældigt udvalg af chauffører testes for narkotika, og det registreres, om de er positive for nylig brug af methamfetamin.
  • Der udvælges en tilfældig stikprøve af fodboldspillere, og det vurderes, om de har haft mere end tre episoder med hjernerystelse eller ej.

En gennemgang af disse eksempler tyder på, at vi er interesseret i antallet af succeser generelt og ikke kun i undersøgelsen af individuelle svar. Hvis vi har \(n\) forsøg, ønsker vi at vide, hvor mange af dem der er succeser.

Næste side – Indhold – Binomiale tilfældige variabler

 Denne publikation er finansieret af
Australian Government Department of Education,
Employment and Workplace Relations		 Bidragsydere
Brugsbetingelser