Vertikale metoder

Matrixpopulationsmodeller

Vi antager en diskret tidsmodel, hvor tidstrinnene repræsenterer en myggefodrings-ovipositionscyklus, hvor overlevelsessandsynligheden er (\(\phi\))). I litteraturen relateres dette til sandsynligheden for daglig overlevelse (\(p\)) ved

$$$p^{d} = \phi$$$
(1)

hvor \(d\) er cyklens varighed i dage.

Aldersstruktureret matrix Vi beskriver først dynamikken i den voksne myggepopulation i form af en generel aldersstruktureret matrix:

$$$$\left\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$$
(2)

hvor \(f_{i}\) er fertiliteten pr. indbygger og \(\phi_{i}\) er overlevelsessandsynligheden (pr. cyklus) for en aldersklasse i. Dette er den korrekte form for myg under den almindeligt anvendte antagelse om ingen senescens (aldersuafhængig overlevelse).

Under visse betingelser, hvor der er en ældste aldersklasse \(m\), der ikke overlever (\(\phi_{m} = 0\); ‛Leslie-matrix’), eller når den ældste aldersklasse repræsenterer alle dyr af denne alder og ældre med samme overlevelsessandsynlighed (se ; ‛Usher-matrix’), er den uendelige matrix i (Eqn. 2) kan behandles som endelig på følgende måde:

I begge tilfælde gælder visse stabile populationsteoretiske resultater med kun svage antagelser , især at den langsigtede populationsstruktur opnås uafhængigt af de oprindelige betingelser (den er ‛ergodisk’ ). Antallet af individer i aldersklasse i ved denne stabile aldersstruktur er givet ved:

$$$x_{i} = x_{0} \lambda^{ – i} \prod\limits_{k = 0}^{i – 1} {\phi_{k} }$$$
(4)

hvor \(\lambda\) er befolkningsvækstraten.

Konventionelle myggemodeller forudsætter almindeligvis ens (aldersuafhængige) overlevelsessandsynligheder (\(\phi\), for eksempel) for aldersklasserne \(\phi_{0} = \phi_{1} = \ldots \phi_{m} = \phi\) og aldersuafhængig fertilitet \(f_{0} = f_{1} = \ldots f_{m} = f\). En anden almindelig antagelse er, at myggenes aldersklasser har samme varighed (sandsynligvis æglægningen eller den gonotrofe cykluslængde). Ved den stabile aldersfordeling reduceres antallet i aldersklasse i til :

$$$x_{i} = x_{0} \left( {{\frac{\phi }{\lambda }} \right)^{i}$$$$
(5)

Så hvis populationen desuden er stationær (\(\(\lambda = 1)\), så er forholdet mellem tilstødende aldersklasser givet ved:

$$$\frac{{{x_{i} }}{{{x_{i – 1}} }}} = \phi$$$
(6)

Flere myggeundersøgelser har anvendt dette resultat, i det mindste implicit.

Trinstruktureret matrix En alternativ formulering er en trinstruktureret model , hvor individerne klassificeres efter et livsstadium eller en størrelse i stedet for en alder. I modsætning til en Leslie-model tillader stadie-klassificerede modeller ‛selvsløjfer’, hvor en tilstand ‛overgang’ kan føre til sig selv. Fysiologiske aldersmarkører, der kan anvendes i mygellitteraturen, er beskrevet af Silver . Den hyppigst anvendte stadiummarkør er hunmyggenes æglægningstilstand, dvs. ganske enkelt (og oftest) om myggen tidligere har lagt æg (er parus) eller ikke har lagt æg (er nulliparus). For en nulliparøs/parøs model:

$$$\left\left( {t + 1} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$$
(7)

For en population i ligevægt har vi \(\(\frac{{{x_{p} }}{{x_{0} }} = \frac{\phi }{1 – \phi }\) (jf. Eqn. 6) eller

$$$\phi = \frac{{{x_{p}} }}}{{{x_{0} + x_{p}} }}}$$$
(8)

En trinstruktureret model har måske ikke den ‛ergodiske’ egenskab, dvs. dens langsigtede tilstand kan afhænge af de indledende betingelser.

Sygdomstilstandsmatrix Efter den indledende infektion udvikler malariaparasitten sig i løbet af ‛ekstrinsisk inkubationstid’ (EIP) for at få myggenes vært til at blive inficeret med sporozoitter. Myggens infektivitet kan ses som en grov aldersmarkør eller udtrykkeligt karakteriseres ved dens sygdomsbærende tilstand. Med henblik på sidstnævnte og for at demonstrere forbindelsen med andre ovennævnte tilgange skriver vi processen i en tidsdiskret matrixform (jf. tidligere ligninger). 2 og 7, hvor myggene blev kategoriseret efter deres alder eller paritet):

$$$\left\left\left( {t + n} \right) = \left\left\left\left( t \right)$$$
(9)

hvor \(S\),\(E\),\(I\) betegner modtagelige, udsatte (inficerede, men ikke smittefarlige) og smittefarlige myg; \(\omega\) er sandsynligheden for infektion (modtagelig myg går over til inficeret); \(\gamma\) er sandsynligheden for, at en inficeret myg går over til en infektiøs tilstand; \(\xi\) er sandsynligheden for, at en myg overlever den foreløbige undersøgelsesperiode, som antages at være den samme for alle klasser, og \(n\) er den foreløbige undersøgelsesperiode i dage.

Bemærk, at \(\xi\) kan skrives i form af daglig overlevelse som \(p^{n}\).

Vi understreger, at Eqn. 9 er stærkt forenklet: Infektionssandsynligheden \(\omega\) er en funktion af andre parametre, herunder navnlig antallet af smittefarlige værter som f.eks. mennesker. Ligningen er tydeligvis en del af et bredere sygdomssystem, som også omfatter hvirveldyrs værtsdynamik. En langt mere fyldestgørende form af dette diskrete tidssystem er blevet undersøgt .

Vi kan undersøge systemet, når det under antagelse er i ligevægt, så \(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}}$}}{x} \left( {t + n} \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}}$}}}{x} \left( t \right) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}}}{x}^{ *}}\), sige. Hvis overgangen fra smittet til smittet er sikker (\(\gamma = 1\)), giver den tredje række i Eqn. 9, at \(\xi \left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right) = x_{I}^{ *}\}\) så:

$$\xi = \frac{{x_{I}^{ *}} }}}{{{\left( {x_{E}^{ *} + x_{I}^{ *} } \right)}}}$$$$
(10)

Den højre side kan skrives tilsvarende og i en mere velkendt form som \(s/Y\). Her er \(s\) andelen af infektiøse (andelen af myg, der indeholder sporozoitter i spytkirtlerne) og \(Y\) andelen af inficerede myg.

Det er meget mere almindeligt i litteraturen at anvende kontinuert-tidsform af dynamiske ligninger til at beskrive sygdomstilstandssystemet i stedet for diskret-tidsform. Ved at anvende førstnævnte form giver forskellige forfattere udtryk for sporozoitraten \(s\), der skrives som :

$$$\\frac{acX}{g + acX}{ \exp }\left( { – gn} \right)$$$

hvor \(a\) er bidraten, \(g\) er den kontinuerlige dødelighedsrate, \(c\\) er sandsynligheden for, at en ikke-inficeret myg bliver smittet efter at have bidt et smittet menneske, og \(X\) er andelen af smittede mennesker. Den venstre term er andelen af inficerede myg (\(Y\)) og den højre term er sandsynligheden for at overleve EIP’en (\(\xi\)), således at igen \(s = Y\xi\).

Estimation

Dette afsnit uddyber estimationsprocessen for de ovennævnte populationsmodeller. Vi forkorter nogle af estimationsmetoderne (LRH, LRV, JS eller FF) som forklaret yderligere nedenfor.

Andel parus En tværsnitsstikprøve af stadie-strukturen med en antagelse om stabilitet giver et estimat af \(\phi\) (Eqn. 8). En anden måde at se på dette på, som ofte anvendes, kan gå tilbage til . Antag, at alle aldersklasser er udtaget repræsentativt, og at overlevelsen er konstant. Lad \(f\) være det antal cyklusser, før myggen begynder at lægge æg, således at det forventede antal nulliparøse er \(x_{n} = \sum\nolimits_{0}^{f} {x_{i} }\), og det forventede antal i ældre, nu parøse, aldersklasser er \(x_{f + 1} ,x_{f + 2} , \ldots\). Så er andelen nulliparøse er

$$$\\frac{{{x_{n}} }}{{{x_{n}} + x_{f + 1}} + x_{f + 2} + \cdots }} = \frac{{{x_{n}} }}}{{{x_{n}} \left( {1 + \phi + \phi^{2} + \cdots } \right)}}} = \left( {1 – \phi } \right)$$$
(11)

På denne måde er andelen af parus et skøn over overlevelsesraten over en cyklus.

Det er også muligt at anvende en tidsserietilgang . Hvis man antager, at der er tale om stikprøvefejl i tidsserier af estimater af parus \(X_{p} \left( 1 \right),X_{p} \left( 2 \right), \ldots\) og nulliparøse myg \(X_{0} \left( 1 \right),X_{0} \left( 2 \right), \ldots\), så \(X_{p} \left( {t + 1} \right) = \phi \left + \varepsilon\) løses ved hjælp af mindste kvadraters metode for at få et estimat af \(\phi\).

Regressionsmetode (LRV) Med udgangspunkt i relationen \(x_{i} = x_{0} \phi^{i} ,i = 1, \ldots ,m\), når populationen er stationær (se Eqn. 5) og tager logaritmerne af de forventede værdier, \({ \log }\left( {E\left} \right) \approx E\left = { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right)\). Med normalfordelte fejl \({ { \log }\left( {x_{i} } \right) \approx { \log }\left( {x_{0} } \right) + i.{ \log }\left( \phi \right) + \varepsilon\), som kan løses ved regression, og den estimerede koefficient kan tilbagetransformeres for at få et estimat af \(\phi\). Metoden er f.eks. skitseret af .

Parasitologisk estimat Vi omfortolker et kortfattet argument for at estimere \(\xi\) (og dermed \(p\)) på følgende måde. En prøve af vildtfangede myg ved \(t\) vurderes med hensyn til andelen af smittefarlige myg for at få den ‛imidlertidige sporozoitrate’. En anden prøve fra den samme population holdes i live i EIP’ens varighed (\(n\)) og vurderes også for andelen af smittefarlige, nu ved \(t + n\) (den ‛forsinkede sporozoitrate’). Vi antager, at der ikke er nogen tab, da myggene er beskyttet mod naturlige dødelighedskilder efter \(t\), og vi antager, at der ikke er nogen senescens. Vi antager endvidere, at alle inficerede (men endnu ikke smittefarlige) myg bliver smittefarlige ved \(t + n\) prøven. De myg, der er smittefarlige ved \(t + n\), består af de myg, der er smittefarlige ved \(t\), plus alle myg, der er smittet ved \(t\) og bliver smittefarlige i løbet af den foreløbige undersøgelsesperiode: \(x_{I} \left( {t + n} \right) = x_{I} \left( t \right) + x_{E} \left( t \right)\). Så et skøn over antallet af smittede, men ikke smittede ved \(t\) er \(\(\hat{x}_{E} \left( t \right) = x_{I} \left( {t + n} \right) – x_{I} \left( t \right)\). Forholdet mellem smittede: smittede i det hele taget er så

$$$\frac{{x_{I} \left( t \right)}}{{{x_{I} \left( t \right) + \hat{x}_{E} \left( t \right)}}} = \frac{{{x_{I}} \left( t \right)}}{{{x_{I}} \left( {t + n} \right)}}}$$$
(12)

Dette forhold kan relateres til overlevelse: som vist ovenfor (Eqn. 10) er forholdet (\(s/Y\)) sandsynligheden for at overleve EIP’en (\(\xi\)), hvorfra \(p\) eller \(\phi\) kan findes. Saul et al. og efterfølgere ændrede denne fremgangsmåde til at estimere overlevelsen i en fødecyklus under ‛naturlige’ forhold ved at anvende parametre, som det er mere praktisk muligt at estimere, navnlig andelen af smittede i en bidende fangst og andelen af smittede i en hvilende (fodret) fangst.

Macdonald præsenterede en række heuristiske estimater, der er formodet ud fra andre forfatteres infektionsdata, hovedsagelig ved at løse en analog af Eqn. 10.

Horisontale metoder

Mark-recapture

Kohorter af myg, der er mærket på en eller anden måde, følges over tid, og tidspunkterne for genopretning og eventuelt genudsætning analyseres. Den mærkede population er under undersøgerens kontrol, herunder tidspunktet for indgang af nyligt mærkede myg. Myggene kan aflives ved indfangning eller genudsættes med eller uden nye mærker. En model for overlevelsen af udsatte myg over tid og deres sandsynlighed for genindfangning anvendes til at estimere overlevelsesparametre. I modsætning til vertikale metoder antages det ikke, at populationen har opnået ligevægt eller en stabil aldersstruktur.

De fleste mark-recapture-undersøgelser (MR) af myg er forsøg med en enkelt genudsætning. En prøve \(m_{0}\) af mærkede myg udsættes, og antallet af myg, der genfanges på senere tidspunkter, registreres. Et mindretal af MR-forsøgene er forsøg med flere udsætninger. Ved en genindfangning udsættes flere myg ved en given lejlighed. Det kan være myg, der er mærket tidligere, eller som er blevet mærket for nylig.

Stimulering

En enkelt udsætning Lad \(m_{0}\) være antallet af myg, der er mærket på tidspunkt 0, og \(m_{1} ,m_{2} ,m_{3} , \ldots\) være antallet af myg, der er genfanget på senere tidspunkter. Lad \(\pi\) være den (konstante) sandsynlighed for at blive genfanget ved enhver lejlighed. Det forventede antal genfangne på tidspunkt k er (se, men med en anden notation):

$$$E\left( {m_{k} } \right) = m_{0} \phi^{k} \pi (1 – \pi )^{k – 1}$$$$
(13)

Langt den mest almindelige metode til at estimere \(\phi\) er at udtrykke Eqn. 13 som en regressionsligning, hvorfra \(\phi\) kan estimeres :

$$$E\left( {log\left( {m_{k} + 1} \right)} \right) \approx log\left( {m_{0} \pi } \right) + \left( {k – 1} \right)log\left( {1 – \pi } \right) + k.log\left( \phi \right)$$$
(14)

med en enhed tilføjet til \(m_{k}\) for at sikre beregnelighed, hvis der opstår nuloptællinger . Der kan anvendes en regression uden den midterste term (se f.eks. ), hvilket kan være tilfredsstillende, hvis myggene genudsættes, eller hvis \(\pi\\) er lille.

Flere udsætninger Der findes en række metoder, som, selv om de ofte har til formål at estimere antallet af myg, også kan estimere overlevelsen. Disse metoder er forholdsvis komplekse, og vi henviser læseren til andre steder for at få alle detaljer, f.eks. Vi behandler kort de tre, vi er stødt på:

(i) Fisher-Ford-metoden (FF) har som primær funktion at estimere populationsstørrelsen. Ikke desto mindre indeholder den et tilhørende overlevelsesestimat, som er blevet udnyttet af nogle få forfattere. Metoden antager en tidsuafhængig overlevelse og anvender den gennemsnitlige observerede overlevelsestid for de mærkede individer, der overlever til genindfangning, og den forventede gennemsnitlige overlevelsestid for de genudsatte individer givet \(\phi\) . For det enklere tilfælde, hvor et enkelt genfangsttidspunkt \(k\) i alt fanger \(m_{k}\) tidligere mærkede myg (se for yderligere udvidelse til flere genfangster), og hvor \(r_{j}\) angiver antallet af disse, der er frigivet j dage før, er den observerede gennemsnitlige overlevelsestid:

$$$\\frac{{{{{\sum\nolimits_{j} {r_{j} j}} }}}{{{m_{k}} }}$$$

Med \(a_{j}\) betegnes antallet af nyudsatte \(j\) dage før prøvetagningstidspunktet \(k\), og den forventede gennemsnitlige overlevelsestid (for de udsendte myg, der overlever til tidspunktet \(k\)) er:

$$\frac{{{{{{sum\nolimits_{j} {a_{j}} \phi^{j} j}} }}}{{{{sum\\nolimits_{j} {a_{j} \phi^{j} } }}$$$

Der tilpasses et estimat af \(\phi\), der svarer til den observerede og den forventede gennemsnitlige overlevelsestid.

(ii) Jolly-Seber-metoden (JS) anvender flere udsætninger og genfangster til at estimere (tidsafhængig) overlevelse (og andre parametre, især abundans) og er almindeligt anvendt af økologer. Essensen af metoden er at estimere overlevelsen ud fra estimater af de markerede populationsstørrelser \(M_{t}\) og \(M_{t + 1}\) på tilstødende tidspunkter, dvs. \(\(\hat{{\phi } = \frac{{M_{t + 1} }}{{M_{t} }}}\). Estimater af \(M_{t}\) fås ved at antage, at den fremtidige genfangstrate for allerede mærkede dyr, der ikke er fanget på tidspunktet \(t\), er den samme som den fremtidige genfangstrate for de mærkede dyr, der er frigivet på tidspunktet \(t\). I den grundlæggende model kan overlevelsesraten variere med tiden, men den kan ændres for at tage højde for begrænsninger (f.eks. tidsuafhængig overlevelse), hvilket kan forbedre estimaternes præcision. I myggeundersøgelser anvendes JS-metoden normalt fuldt ud, selv om modellen indeholder en komponent (Cormack-Jolly-Seber-modellen), som er tilstrækkelig til at estimere overlevelsen.

(iii) Saul udviklede deres egne estimater, som indebærer algebraiske løsninger på MR-ligninger. Metoden forudsætter tidsuafhængig overlevelse.

Andre estimationsmetoder

Andre metoder var ualmindelige, og vi gør ikke andet end at nævne dem. Disse omfattede hastigheden af populationsnedgang under betingelser med nul rekruttering ; ‛Manly-Parr’ metoden , anvendt af (selv om der ikke blev givet noget overlevelsesestimat for denne metode); og uformelle tilgange (f.eks. tilpasning af en overlevelseskurve grafisk ).

Søgning og meta-analyse

For at indfange estimater af overlevelse udviklede forfatterne en systematisk søgestrategi og kørte den i følgende databaser: PubMed (National Library of Medicine), Global Health (OvidSP), Web of Science Core Collection (Clarivate Analytics), Environment Complete (EBSCOhost) og Scopus. Søgningerne blev udført i november 2017 uden dato- eller sprogbegrænsninger. Scoping indikerede, at Web of Science ville give de mest relevante resultater, så der blev anvendt en bredere strategi end de andre. Web of Science-søgningsstrategi: (Mosquito* eller anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* OR lifecycle* or “life cycle*”)TS. Søgestrategi for Environment Complete, Global Health, Scopus og PubMED: (Mosquito* eller anophel*)TI AND (surviv* OR longevity OR mortality OR lifecycle* or “life cycle*”)TI.

Der blev derefter foretaget udelukkelser af ikke-publicerede eller ikke-engelsksprogede undersøgelser, interventioner, der kan påvirke overlevelsen, f.eks. insekticider, undersøgelser uden naturlige dødelighedskilder (laboratorieundersøgelser) undtagen undersøgelser, der anvender ‛immediate: delayed sporozoite rate’ (se ovenfor), som kun forudsætter, at der ikke er nogen dødelighed på fremtidige tidspunkter, ud over det tidspunkt, hvor estimatet er foretaget, undersøgelser, der reanalyserer data med en aldersafhængig model, metodologiske/simuleringsundersøgelser, oversigtsartikler eller andre dobbelte estimater og undersøgelser, der ikke giver estimater. Hvor der kun blev leveret en parus andel, behandlede vi det som et estimat af sandsynligheden for cyklusoverlevelse.

Vi planlagde at udføre metaanalyser med undersøgelser vægtet ved omvendt variansvægtning. De fleste vertikale undersøgelser og mark-recapture med enkeltudsætning gav imidlertid ikke variansestimater eller relaterede målinger (konfidensintervaller osv.). Vi foretog derfor uvægtede metaanalyser. De daglige overlevelsesrater blev transformeret til log(odds) før metaanalysen og derefter tilbage-transformeret til præsentation. Analysen blev udført i R 3.5 med pakken metafor.